Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Смирнов Илья Николаевич

Управление процессом, описываемым

телеграфным уравнением

01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2011

Работа выполнена на кафедре общей математики Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор, Ильин Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Васильев Федор Павлович доктор физико-математических наук, профессор, Гольдман Михаил Львович

Ведущая организация: Институт Системного Анализа РАН

Защита состоится 2011 г. в часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Е.В. ЗАХАРОВ

Общая характеристика работы

Актуальность работы Одномерное телеграфное уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих важное практическое значение.

Телеграфное уравнение описывает давление нефти или газа в трубопроводе, характеризует динамику силы тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, свободные колебания геологической среды (пластовые давления и смещения).

Исследованию решений задач управления распределенными системами и их оптимизации посвящены работы многих математиков. Основной целью исследований является изучение условий, при которых процесс колебаний распределенной системы под воздействием некоторого граничного локального или нелокального управления может быть переведен из одного состояния, заданного начальными смещениями и скоростями системы, в наперед заданное финальное.

В математическом плане такие задачи граничного управления формируются в терминах краевых задач для уравнения, описывающего процесс колебаний.

Во многих работах доказывается существование промежутка времени, который, следуя литературе, мы будем называть критическим (Tk ),например, для уравнений колебаний струны было показано, что если промежуток времени, за который проводится управление, не превосходит Tk, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках, строго больших Tk, существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных условиях.

Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Л.Лионс (1988г.). В его работах изучалась задача успокоения с граничными условиями типа смещения. Им же в работе1 была доказана неединственность решения полученной задачи при Tk > C 2l.

В работе E. Zuazua2 гильбертов метод единственности был обобщен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимптотически линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения. Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.

В работе А.Г. Бутковского3 задача граничного управления была исследована с помощью метода Фурье и метода моментов, который был применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе А.И. Егорова4 для конструктивного решения задачи был использован метод падающих и отраженных волн.

В статье Ф.П. Васильева5 была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также его соместные с учениками работы6, в которых построены эффективные J.L.Lions,Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Re view, Vol. 30, No. 1. (Mar., 1988), pp. 1-68.

Zuazua E. Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation.// J. Math. pures et appl., 69, 1990, pp. 1- Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.

М., 1985.

Егоров А.И. Управление упругими колебаниями. // ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук.

1986. №.5 с. 60- Васильев Ф. П., О двойственности в линейных задчах управления и наблюдения// Дифференц.

уравнения. 1995. Т 31, № 11. С. 1893 - Васильев Ф. П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задчах граничного управления и наблюдения для уравнений колебаний струны.// Вестник МГУ, сер.15, вычисл. матем. и киберн. 1993.

№3. С. 8 - Васильев Ф. П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны. // Вестник МГУ, сер.15, вычисл. матем. и киберн. 1993. №2. С. 3 - численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Первая работа основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления в виде ряда Фурье, а вторая, использует метод Фурье. Отметим, однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.

В работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева7 для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на одном конце при закрепленном другом для критического промежутка времени Tk = 2l.

Затем, в работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева8 для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на обоих концах для критического промежутка времени Tk = l.

В работах В.А. Ильина 2009 года для системы, состоящей из двух разнородных участков, т.е. участков разной плотности и разной упругости, разработана теория управления процессом колебаний, описываемых волновым уравнением.

В своих работах9 В.А. Ильин вывел формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости в случаях продольных и поперечных колебаний, а в последующих работах10 для системы, Ильин. В.А. Моисеев Е.И. О Граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением. // Доклады Академии Наук. 2002. Т.387, № 5. С.600-603.

Ильин. В.А. Моисеев Е.И. О Граничном управлении на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением. // Доклады Академии Наук. 2004. Т.394, № 2. Стр.154-158.

Ильин В.А. Формула типа Даламбера для продольных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости. //Доклады РАН. 2009. Том 427.

№ 4. Стр.466-468.

Ильин В.А. Формула типа Даламбера для поперечных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности. //Доклады РАН. 2009. Том 427. № 5. Стр.609-611.

Ильин В.А., Луференко П.В.. Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня, состоящей из двух разнородных участков, были получены формулы для решения смешанных начально-краевых задач а также аналитический вид оптимальных граничных управлений (т.е. доставляющих минимум интегралу граничной энергии) для большого промежутка времени T > Tk.

Цель диссертационной работы В диссертационной работе построена теория управления процессом колебаний, описываемых телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока, в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и упругости.

Цель работы получить явный аналитический вид решений для всех рассматриваемых задач.

Научная новизна В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости, колебания которого описываются телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока.

Рассмотрены случаи продольных и поперечных колебаний такой системы.

2. Решены 7 смешанных начально-краевых задач в случае граничного управления упругой силой и смещением для процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока, в терминах обобщенного решения телеграфного уравнения состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.

// Доклады Академии Наук. 2009. Т.428, № 1. С.12-15.

Ильин В.А., Луференко П.В. Обобщенные решения смешанных задач, для разрывного волнового уравнения при условии равенства импедансов. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.429, № 3. С.317-321.

Ильин В.А., П.В. Луференко П.В. Аналитический вид оптимальных граничных управлений продольными колебаниями стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и упругости, но одинаковые импедансы. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.429, № 4. С.455-458.

Ильин В.А. О продольных колебаниях стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.429, № 6. С.742-745.

c конечной энергией для любого промежутка времени T. Для любого промежутка времени T получен явный аналитический вид решения u(x, t).

3. Получены актуальные для проведения оптимизации граничных управлений выражения через функции, входящие в граничные условия первого и второго родов, решений семи смешанных задач, которые описывают продольные колебания системы, задаваемые телеграфным уравнением, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. На левом конце рассматривается управление силой или смещением, при условии, что правый конец либо закреплен, либо свободен, либо управляется силой или смещением.

4. Решена задача о граничном управлении на двух концах смещением процессом колебаний, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.

Практическая значимость Диссертация носит теоретический характер. Учитывая, что телеграфным уравнением описывается давление нефти или газа в трубопроводе, сила тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, явный аналитический вид решений, полученных в диссертации, может быть использован для моделирования указанных выше процессов, с целью существенного сокращения объемов вычислений.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости, колебания которого описываются телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока.

Рассмотрены случаи продольных и поперечных колебаний такой системы.

2. В терминах обобщенного решения телеграфного уравнения c конечной энергией для любого промежутка времени T решены 7 задач граничного управления упругой силой и смещением для процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока. Для любого промежутка времени T получен явный аналитический вид решения u(x, t).

3. Получены актуальные для проведения оптимизации граничных управлений выражения через функции, входящие в граничные условия первого и второго родов, решений семи смешанных задач, которые описывают продольные колебания системы, задаваемые телеграфным уравнением, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. На левом конце рассматривается управление силой или смещением, при условии, что правый конец либо закреплен, либо свободен, либо управляется силой или смещением.

4. Решена задача о граничном управлении на двух концах смещением процессом колебаний, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Молодежном симпозиуме с международным участием "Теория управления:

новые методы и приложения Переславль, сентябрь 2009 г.;

• конференции Ломоносов-2010 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова,Москва, июль 2010 г.;

• конференции Тихонов-2010 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова,Москва, октябрь 2010 г.;

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах, из них работы - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и 1 работа тезисы докладов. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из 4 глав. Главы разбиты на разделы. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул - сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 25 наименований. Общий объем диссертации 76 страниц.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе устанавливаются формулы типа Даламбера для поперечных и продольных колебаний, описываемых телеграфным уравнением, для бесконечного стержня, состоящего из двух участков:

участка x 0, имеющего линейную плотность 1 = const, и участка x 0, имеющего линейную плотность 2 = const.

В случае поперечных колебаний, математически задача сводится к являющееся постоянным вдоль всего бесконечного стержня, решения u(x, t) задачи Коши для разрывного телеграфного уравнения и при всех x начальным условиям При этом функция (x) предполагается принадлежащей классу W2,loc на каждой из полупрямых x 0иx 0 и удовлетворяющей условиям сопряжения а функция (x) предполагается принадлежащей классу W2,loc на каждой из полупрямых x 0иx 0 и удовлетворяющей условию сопряжения В случае продольных колебаний, математически задача сводится к для разрывного телеграфного уравнения, того же, что и в случае поперечных колебаний:

{x 0, t 0}, однако удовлетворяющего при всех t 0 условиям сопряжения и при всех x начальным условиям При этом функция (x) предполагается принадлежащей классу W2,loc на каждой из полупрямых x 0иx 0 и удовлетворяющей условиям сопряжения а функция (x) предполагается принадлежащей классу W2,loc на каждой из полупрямых x 0иx 0 и удовлетворяющей условию сопряжения Результаты первой главы опубликованы в работе [1].

Во второй главе в терминах обобщенного решения телеграфного уравнения c конечной энергией для любого промежутка времени T рассмотрены 7 задач граничного управления упругой силой и смещением для процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока. Для любого промежутка времени T получен явный вид решения u(x, t).

Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 состояние изучаемого процесса имеет вид {u(x, 0) = (x), ut (x, 0) = (x)}, где (x) на сегменте [0, l], а (x) является нулевым элементом пространства L2 [0, l].

Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при закрепленном другом Будем искать решение в классе функций W2 (QT ), введенном в работе В. А.

Ильина11.

Определение 2.1. Будем говорить, что функция двух переменных u(x, t) принадлежит классу W2 (QT ), если функция u(x, t) непрерывна в замкнутом прямоугольнике QT и имеет в нем обе обобщенные частные производные ux и ut, каждая из которых принадлежит классу L2 (QT ) и, кроме того, принадлежит классу L2 ([0 x l]) при любом фиксированном t из сегмента [0, T ] и классу L2 ([0 t T ]) при любом фиксированном x из сегмента [0, l].

Для любого T > 0 рассмотрим следующую задачу I:

где µ(t) L2 [0, T ].

Определение 2.2. Решением из класса W2 (QT ) смешанной задачи I назовем функцию u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией.// Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, № 11 С.

1513- для произвольной функции (x, t) из класса C 2 (QT ), подчиненной условиям где n=1,2,3..., единственное решение u(x, t) из класса W2 (QT ) смешанной задачи I определяется равенством Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при свободном другом Для любого T > 0 рассмотрим следующую задачу II:

где µ(t) L2 [0, T ].

Определение 2.3. Решением из класса W2 (QT ) смешанной задачи II назовем функцию u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству для произвольной функции (x, t) из класса C 2 (QT ), подчиненной условиям где n=1,2,3..., единственное решение u(x, t) из класса W2 (QT ) смешанной задачи II определяется равенством Решение задачи в случае, управления упругими силами на обоих концах Для любого T > 0 рассмотрим следующую задачу III:

где µ(t), (t) L2 [0, T ].

Определение 2.4. Решением из класса W2 (QT ) смешанной задачи III назовем функцию u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству для произвольной функции (x, t) из класса C 2 (QT ), подчиненной условиям где n=1,2,3..., единственное решение u(x, t) из класса W2 (QT ) смешанной задачи III определяется равенством Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при закрепленном другом Для любого T > 0 рассмотрим следующую задачу IV :

где µ(t) W2 [0, T ].

Определение 2.5. Решением из класса W2 (QT ) смешанной задачи IV назовем функцию u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству для произвольной функции (x, t) из класса C 2 (QT ), подчиненной условиям где n=1,2,3..., единственное решение u(x, t) из класса W2 (QT ) смешанной задачи IV определяется равенством Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при свободном другом Для любого T > 0 рассмотрим следующую задачу V :

где µ(t) W2 [0, T ].

Определение 2.6. Решением из класса W2 (QT ) смешанной задачи V назовем функцию u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству для произвольной функции (x, t) из класса C 2 (QT ), подчиненной условиям где n=1,2,3..., единственное решение u(x, t) из класса W2 (QT ) смешанной задачи V определяется равенством Решение задачи в случае управления смещением на двух концах Для любого T > 0 рассмотрим следующую задачу V I:

где µ(t) W2 [0, T ].

Определение 2.7. Решением из класса W2 (QT ) смешанной задачи V назовем функцию u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству для произвольной функции (x, t) из класса C 2 (QT ), подчиненной условиям где n=1,2,3..., единственное решение u(x, t) из класса W2 (QT ) смешанной задачи V определяется равенством Решение задачи в случае управления смещением на одном конце и упругой силой на другом Для любого T > 0 рассмотрим следующую задачу V II:

где µ(t) W2 [0, T ].

Определение 2.8. Решением из класса W2 (QT ) смешанной задачи V I назовем функцию u(x, t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству для произвольной функции (x, t) из класса C 2 (QT ), подчиненной условиям где n=1,2,3..., единственное решение u(x, t) из класса W2 (QT ) смешанной задачи V II определяется равенством Далее получены актуальные для проведения оптимизации граничных управлений выражения через функции, входящие в граничные условия первого и второго родов, решений семи смешанных задач, которые описывают задаваемые телеграфным уравнением, продольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. Рассматривается управление силой или смещением на обоих концах.

стержень имеет на участке 0 x модуль Юнга k2 = const, но при этом импедансы указанных двух участков равны друг другу. Изучение колебаний такого стержня, происходящих под воздействием тех или иных граничных условий на его концах, сводится к разрывного телеграфного уравнения с нулевыми начальными условиями с условиями сопряжения в точке x стыка участков и одной из следующих семи пар граничных условий:

(смещение на одном конце при закрепленном втором конце), (смещение на одном конце при свободном втором конце), (упругая сила на одном конце при закрепленном втором конце), (упругая сила на одном конце при свободном втором конце).

(смещение на двух концах), (упругая сила на двух концах), (упругая сила на одном конце и смещение втором конце).

Результаты второй главы опубликованы в работах [2], [3].

В третьей главе в терминах, обеспечивающих существование конечной энергии обобщенных решений, изучаются смешанные задачи для разрывного телеграфного уравнения, описывающего продольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные линейные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.

Получены выражения для обобщенных решений всех рассматриваемых четырех смешанных задач через установленные ранее во второй главе обобщенные решения соответствующих смешанных задач для простейшего телеграфного уравнения utt (x, t) uxx (x, t) + c2 u(x, t) = 0.

Если расположенный вдоль отрезка [0 x l] стержень имеет на участке 0 x x, где 0 < x < l, линейную плотность 1 = const и модуль Юнга k1 = const, а на участке x x l – линейную плотность 2 = const и модуль Юнга k2 = const, причем импедансы этих участков 1 k и 2 k2 равны друг другу, то математическая задача сводится к отысканию при a1 = k1 и a2 = k2 обобщенного решения разрывного телеграфного уравнения utt (x, t) = с условиями сопряжения на прямой x = x с начальными условиями и с одной из следующих четырех пар граничных условий Замечание 3.1. Отметим, что второе условие сопряжения (67), являющееся равенством элементов L2 [0 t T ], из физических соображений определяется соотношением k1 ux (x 0, t) = k2 ux (x +0, t), но при равенстве импедансов это соотношение переходит в a1 ux (x 0, t) = a2 ux (x +0, t).

Определение 3.1. Обобщенным из класса W2 в каждом из прямоугольников смешанной задачи для разрывного телеграфного уравнения (66) с условиями сопряжения (67), с начальными условиями (68) и с одной из четырех пар граничных условий (69) – (72) называется функция u(x, t), принадлежащая классу W2 в каждом из прямоугольников Q1 и Q2 и удовлетворяющая интегральному тождеству a u(0, t)x (0, t)dt a2 u(l, t)x (l, t)dt для условия (69), a u (0, t)(0, t)dt + a2 u (l, t)(l, t)dt для условия (70), a u (0, t)(0, t)dt a2 u(l, t) (l, t)dt для условия (71), a u(0, t)x (0, t)dt + a2 ux (l, t)(l, t)dt для условия (72) для любой пробной функции (x, t), принадлежащей классу C (2) в каждом из замкнутых прямоугольников Q1 и Q2, удовлетворяющей условиям сопряжения нулевым финальным условиям (x, T ) 0, t (x, T ) 0 и однородным граничным условиям Вводимые определением 3.1 обобщенные решения u(x, t) смешанных задач для разрывного телеграфного уравнения (1) сведем к изученным во второй главе обобщенным решениям u(y, t) рассматриваемых на задач для простейшего телеграфного уравнения с начальными условиями и с одной из четырех пар граничных условий Обобщенные из класса W2 (Q) решения указанных смешанных задач вводятся следующим определением.

Определение 3.2. Обобщенным из класса W2 (Q) в прямоугольнике Q = [0 y l] [0 t T ] решением смешанной задачи для телеграфного уравнения (75) с начальными условиями (76) и с одной из четырех пар граничных условий (77) – (80) называется функция u(y, t) из класса W2 (Q), удовлетворяющая интегральному тождеству u(0, t)y (0, t)dt u(l, t)y (l, t)dt для условия (77), u (0, t)(0, t)dt + u (l, t)(l, t)dt для условия (78), u (0, t)(0, t)dt u(l, t) (l, t)dt для условия (79), u(0, t)y (0, t)dt + uy (l, t)(l, t)dt для условия (80) для любой пробной функции (y, t) из класса C (2) (Q), удовлетворяющей нулевым финальным условиям (y, T ) 0, t (y, T ) 0 и однородным граничным условиям Теорема 3.1. Функция u(x, t) удовлетворяет тождеству (73) для любой пробной функции (x, t), удовлетворяющей всем условиям определения 3.1, соотношением удовлетворяет тождеству из определения 3.2 для любой пробной функции (y, t), удовлетворяющей всем условиям определения 3.2.

В четвертой главе для стержня, состоящего из двух разнородных участков, имеющих одинаковые импедансы, установлен явный аналитический вид граничного управления смещением на обоих концах этого стержня, которое за минимально возможный промежуток времени переводит процесс его колебаний из произвольно заданного начального состояния в финальное состояние покоя.

Для произвольных положительных чисел l1 и l2 рассмотрим стержень, участка l1 x 0, имеющего линейную плотность 1 = const и коэффициент 2 = const и коэффициент упругости k2 = const.

Если обозначить через u(x, t) смещение точки стержня x в момент времени t, то процесс колебаний такого стержня, протекающий за промежуток времени 0 t T, описывается разрывным телеграфным уравнением utt (x, t) = ведется посредством смещения левого конца x = l1 и правого конца x = l При этом, поскольку в финальный момент t = T стержень покоится, то заданы нулевые финальные условия а в точке x = 0 стыка двух участков выполнены условия сопряжения Поскольку импеданс левого участка стержня l1 x 0 по определению равен 1 a1 = 1 k1 = 1 k1, а импеданс правого участка стержня 0 x l равен 2 a2 = 2 k2 = 2 k2, и эти импедансы предполагаются равными, то 1 k1 = 2 k2. Это равенство позволяет нам переписать условие сопряжения (852 ) в виде Затем при произвольных l1, l2, 1, 2, k1, k2, за минимально возможный промежуток времени T найден явный аналитический вид граничных управлений (82),(83), обеспечивающих перевод колеблющегося стержня из начального состояния в финальное состояние покоя Результаты четвертой главы опубликованы в работе [4].

Публикации автора по теме диссертации.

1. Смирнов И.Н. Формула типа Даламбера для колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности, описываемых телеграфным уравнением // Доклады Академии Наук, 2010, том 433, № 1, С. 25–29.

2. Смирнов И.Н. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. Одностороннее управление. Доклады Академии Наук, 2010, том 435, № 1, С.

22–25.

3. Смирнов И.Н. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. Доклады Академии Наук, 2010, том 435, № 2, С. 172- 4. Смирнов И.Н. Решение задачи успокоения для системы, состоящей из двух разнородных участков, колебания которой описываются телеграфным уравнением. Тезисы конференции Тихонов-2010. – Москва: Изд-во МГУ, 2010. С. 28-29.