1

На правах рукописи

Подкур

Полина Николаевна

МАСШТАБИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ И ВЕЙВЛЕТЫ

С КОЭФФИЦИЕНТОМ МАСШТАБИРОВАНИЯ N>2

Специальность: 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул 2007 2

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Смоленцев Николай Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Славский Виктор Владимирович кандидат физико-математических наук, доцент Кизбикенов Кажимурат Оспанович,

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Защита диссертации состоится 13 ноября 2007 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан «_» октября 2007г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия функции с графиком типа небольшой волны (вейвлеты) успешно используются для разложения сигналов [1, 4]. Хотя понятия вейвлета и вейвлет-разложения являются сравнительно новыми, теория вейвлетов представляет большое и перспективное научное направление. На русском языке изданы переводы трех монографий классиков теории вейвлетов, И. Добеши, К.Чуи и С. Малла [3, 10, 15]. Издано несколько книг отечественных авторов по теории вейвлетов [6–9].

В теории вейвлетов основную роль играют, так называемые, масштабирующие функции. Для коэффициента масштабирования 2 известно достаточно много примеров масштабирующих функций, имеются методы их построения [3, 9]. Ситуация значительно сложнее для произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2. В этом случае теория вейвлетов не получила пока должного развития, хотя некоторые общие результаты получены в работах [3, 13–15]. Однако необходимость в такой теории имеется. В задачах экономического происхождения, где отсчеты времени обладают определенной периодичностью, требуются вейвлеты именно с коэффициентом масштабирования N>2. Таким образом, тема диссертации является современной и актуальной.

Цель работы.

1. Получение теоретических результатов для построения новых масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2.

2. Построение достаточно большого числа масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2. Разработка программ для нахождения фильтров новых вейвлетов и построения вейвлетов.

3. Нахождение новых применений вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования N2. Разработка соответствующих комплексов программ вейвлет-анализа.

Методы исследования. В работе использованы методы математического и функционального анализа, методы программирования в среде Maple, MATLAB и на Borland C++ Builder.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Построение новых примеров масштабирующих функций. Доказательство N-масштабируемости B-сплайнов. Построение вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2. Метод построения вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 на основе B-сплайнов. Метод построения ортогональных вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 и с компактным носителем.

2. Разработка методов вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования N>2 для исследования временных рядов, возникающих в экономике. Использование пакетного вейвлет-анализа для получения новых числовых характеристик кардиосигналов, которые существенно отличаются от традиционных.

3. Комплекс программ для вычисления масштабирующих фильтров вейвлетов и построения вейвлетов; для вычисления фильтров вейвлетов и фильтров восстановления; для вейвлет-анализа временных рядов с разными временными периодами; для вейвлет-анализа кардиосигналов.

Научная новизна работы. Результаты, полученные в диссертации являются новыми и получены лично автором, либо в соавторстве с научным руководителем. Результаты носят как теоретический, так и практический характер.

Практическая ценность работы. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории вейвлетов и ее приложениям. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения новых вейвлетов, новых вейвлет-фильтров разложения и восстановления, для вейвлет-анализа данных экономического и медицинского происхождения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2004; на V Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», Новочеркасск, 2005 г.; на IV Всероссийской научно-практической конференции «Информационные недра Кузбасса», Кемерово, 2005 г.; на седьмой Всероссийская научнопрактическая конференция «Новые достижения в развитии электрокардиографии», ГУ НИИ кардиологии Томского научного центра СО РАМН «Тюменский кардиологический центр», Тюмень, 2005 г.; на региональной конференции по математическому образованию на Алтае» Барнаул, 2006 г.; на Всероссийской научно-технической конференции «Новые материалы и технологии в машиностроении», Рубцовск Алтайского края, 2006 г. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре кафедры математического анализа КемГУ и на семинаре кафедры высшей и прикладной математики РГТЭУ (Кемеровский институт).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений. Объем диссертации – 233 стр.: основного текста – 187 стр. и приложений – 46 стр. Список литературы – наим..

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается небольшой обзор литературы по теме исследования и кратко излагаются полученные результаты.

В первой главе даны основные понятия N-масштабирующих функций для любого натурального N>1 и соответствующего кратномасштабного разложения пространства L2(R). В первом параграфе введены основные понятия и доказаны некоторые теоремы (теоремы 1.1.2 и 1.1.3) которые являются обобщениями известных теорем для N=2 [3, 9].

рующей, если она может быть представлена в виде где числа hn, n Z удовлетворяют условию nZ | hn | 2 <. Равенство (1.1) называется масштабирующим уравнением. Набор hn коэффициентов разложения в уравнении (1.1) называется масштабирующим фильтром.

Сделаем преобразование Фурье масштабирующего соотношения (1.1), Функцию будем называть частотной функцией масштабирующей функции (x).

Во втором параграфе первой главы построены примеры Nмасштабирующих функций, которые являются N-кратными аналогами хорошо известных для N=2 [3, 9], масштабирующих функций Хаара, Котельникова-Шеннона, Мейера и сплайнов. Кроме общеизвестной функции Хаара, остальные примеры являются новыми. Следуя работе [14], определены вырожденные N-масштабирующие функции Кантора. Основные результаты параграфа заключаются в доказательстве N-масштабируемости функции Котельникова-Шеннона (теорема 1.2.1) и N-масштабируемости B-сплайнов (теорема 1.2.2).

Теорема 1.2.2. B-сплайны p(x) порядка p являются N-масштабирующими функциями для любого целого N>1. При этом правая часть масштабирующего соотношения ( x) = N k hk ( Nx k ) является конечной суммой. В случае нечетного p коэффициенты hk находятся по формуле где суммирование производится по всем мультииндексам = (0, 1, …, Nудовлетворяющим двум условиям:

индекс k меняется от k = -(N-1)(p+1)/2 до k = (N-1)(p+1)/2.

В случае четного p, коэффициенты hk находятся по той же формуле (1.3), где суммирование производится по всем мультииндексам = (0, 1, …, N-1), удовлетворяющим двум условиям:

индекс k меняется от k = -(N-1)p/2 до k = (N-1)(p/2 +1) Вторая глава посвящена построению вейвлетов для случая произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2. Как известно [3, 9], в ортогональном случае целочисленные сдвиги { 0, n ( x) = ( x n), n Z } масштабирующей функции (x) образуют ортонормированный базис подпространства V0, в L2(R). Масштабирующей функции (x) соответствует N–1 вейвлетов 1(x), …, N-1(x), которые порождают ортонормированный базис L2(R) в том смысле, что система функций образует ортонормированный базис пространства L2(R). Вейвлеты выражаются через масштабирующую функцию (x) следующим образом:

где коэффициенты {g n }, k = 1, 2, …, N-1, называются фильтрами вейвлетов.

Определим соответствующие вейвлетам k(x) частотные функции:

В случае параметра масштабирования N=2 известно много методов построения ортогональных вейвлетов [3]. Для произвольного значения N>2 в работе [13] указан способ построения вейвлетов 1(x), …, N-1(x) при известной масштабирующей функции (x). Однако по существу задача построения N-масштабирующих функций и вейвлетов в ортогональном случае до сих пор не решена, поскольку нет методов построения N-масштабирующей функции (x).

Как было показано выше, B-сплайны (x) являются N-масштабируемыми { 0, n ( x) = ( x n), n Z } сдвигов. В этом случае задача построения вейвлетов значительно сложнее и для N>2 не была решена. Работы автора [22], [25], [29] посвящены решению этой задачи.

В первом параграфе данной второй главы определяются вейвлеты для N>2.

Подробно рассмотрено разложение и восстановление сигнала в неортогональном случае. Основной результат первого параграфа есть теорема 2.1.2, которая устанавливает достаточные условия на фильтры для точного восстановления сигнала.

Пусть X ( z ) = n a n z n – формальный степенной ряд, соответствующий дискретному сигналу {an}. Пусть H 0 ( z ) = n hn z n и H k ( z ) = n g n z n – пеk редаточные функции фильтров разложения {hn} и {g n }, k = 1, 2, …, N–1. Тогда разложение этими фильтрами сигнала {an} определяется умножением [9]:

При вейвлет-разложении необходимо еще провести N-адическую децимацию, т.е. выборку в Xk(z) элементов с номерами Nm, что приводит к серии ряAk(zN). Восстановление сигнала производится другими фильтрами дов Gk ( z ) = n g n z n, k = 0, 1, 2, …, N–1. На уровне степенных рядов это означает следующее:

Теорема 2.1.2. Если матрица фильтров вейвлет-разложения невырождена при z = e i, где = e i 2 / N, то возможно точное восстановление сигнала фильтрами Gk(z), k = 0, 1, 2, …, N–1, матрица которых является транспонированной к обратной матрице H(z)–1 исходных фильтров.

В параграфах со второго по шестой второй главы для коэффициента масштабирования N>2 дается построение вейвлетов Хаара, Кантора, Котельникова-Шеннона, Мейера и вейвлетов для случая, когда N является степенью двойки, N=2k. Показана неоднозначность выбора вейвлетов Хаара и Кантора, обсуждается смысл вейвлет-разложения при помощи вейвлетов Хаара и Кантора. Найдены частотные функции вейвлетов, Получено выражение для коэффициентов масштабирующего фильтра и фильтров вейвлетов.

Седьмой параграф представляет основное содержание второй главы. Для В-сплайна (x) найдены вейвлеты 1(x), …, N-1(x), с полиномиальными частотными функциями, которые обеспечивают N-канальное разложение сигнала с возможностью его точного восстановления. Основное содержание параграфа представляют теоремы 2.7.2 и 2.7.3 и метод построения вейвлетов и фильтров восстановления.

Пусть (x) – заданная В-сплайновая функция и H0(z) – ее частотная функция. При построении фильтров разложения H1(z),..., HN1(z) должно выполнятся условие невырожденности матрицы H(z) (указанной в теореме 2.1.2).

Эта матрица очень специфична. Оказывается, что от этого специального вида матрицы H(z) можно избавиться следующим преобразованием [13]:

Обратное преобразование определяется формулой В этом выражении матрица A(zN) является уже произвольной невырожденной матрицей с полиномиальными элементами. Таким образом, достаточно задать матрицу A(w) и тогда H(z) находится по формуле (1.8). Если известна масштабирующая функция, в этой матрице A(w) можно считать заданной первую строку A0, j ( w) = образовать остальные строки матрицы A(zN). Рассмотрим имеющуюся первую строку, ( w) = ( A0,0 ( w), A0,1 ( w),, A0, N 1 ( w) ). Поскольку каждый элемент первой строки матрицы A(w) является многочленом, она может быть представлена в виде ( w) = w k ( 0 + 1 w + + g 1 w g 1 ), где 0, 1,..., g1 – g векторов из CN и k – некоторое целое число. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.7.2. Пусть (x) – B-сплайн порядка p < N и H0(z) – его частотная функция. Если является разложением первой строки ( w) = ( A0,0 ( w), A0,1 ( w),, A0, N 1 ( w) ), полученной преобразованием (1.7) частотной функции H0(z), тогда сумма векторов-коэффициентов есть вектор с одинаковыми координатами, Теорема 2.7.3. Пусть = (0, 1,..., g1) – g линейно независимых векторов из CN и p0(w), p1(w),..., pg1(w) – некоторые многочлены, ни один из которых не обращается в нуль на единичной окружности z = eit. Тогда существует полиномиальная матричная петля A(w) на группе GL(N,C) такая, что первая строка матрицы A(w) есть w k i =0 i pi ( w).

Следствие 2.7.4. Пусть H0(z) есть полином и пусть N2. Предположим, что для всех zS1, где = e i 2 / N.

Тогда существуют полиномы {Hi(z); i = 1,..., N1} такие, что объединенная система {Hi(z); 0 i < N-1} удовлетворяет свойству невырожденности матрицы (1.5) на единичной окружности z = e i. Кроме того, если степень полинома H0(z) не превосходит K, тогда полиномы H1,..., HN1 могут быть взяты так, что их степень также не превосходит K.

В данном параграфе предложен также метод построения матрицы A(w) по имеющейся первой строке. Эффективность метода показана на двух примерах для B-сплайнов степеней 1 и 2. Для вычисления фильтров разложения и восстановления для различных значений коэффициента N и степени B-сплайна p, написана программа на языке Maple, которая приведена в приложении 1. Вычислена серия фильтров вейвлетов и фильтров восстановления для различных значений коэффициента масштабирования N и степени B-сплайна p: N =3, N =5, N =7, N =9, p=1, p=2, p=3 (таблицы 1-22 Приложения 7).

В восьмом параграфе второй главы дан метод построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем для любого N>2. В отличие от методов работы [13], в нашем случае не предполагается заданной масштабирующая функция (x) – она находится одновременно с вейвлетами. Эффективность этого метода показана на примере построения однопараметрического семейства новых вейвлетов с параметром масштабирования N=3. Приведены фильтры для ряда значений параметра t (t=0, t=0.1, t=1, t=/6, t=/4, t=/3, t=/2, t=2/3, t=, t=4/3) и найдены соответствующие вейвлеты (x), 1(x) и 2(x).

Для вычисления фильтров ортогональных вейвлетов написана программа на языке Maple, которая приведена в приложении 2. Для построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем (x), 1(x) и 2(x) написана программа на языке MATLAB, которая приведена в приложении Третья глава диссертации посвящена приложениям вейвлетов с коэффициентом масштабирования N для анализа данных экономического происхождения. В качестве примера рассмотрен вейвлет-анализ 15-минутных данных о ценах и объемах продаж акций компании ЛУКОЙЛ на фондовой бирже ММВБ за 2006 год. Для вейвлет-разложения первого уровня использовался параметр масштабирования N=4 (поскольку в часе 15-минутных периодов – 4). Далее, для второго уровня разложения использовался параметр N=8 (поскольку рабочий день составляет 8 часов). Для третьего уровня разложения использовался параметр N=5 (поскольку неделя имеет 5 рабочих дней). Для вейвлет-анализа написаны программы функций вейвлет-разложения и вейвлет-восстановления и написана программа для анализа данных на языке MATLAB (приложение 4). Предложенный новый метод вейвлет-анализа позволил получить новые числовые характеристики акций компании ЛУКОЙЛ.

Четвертая глава посвящена приложениям вейвлетов с коэффициентом масштабирования N=2 для исследования данных медицинского происхождения. В качестве примера рассмотрен вейвлет-анализ кардиосигнала. Отметим, что до сих пор для анализа кардиосигнала использовались визуальные методы непрерывного вейвлет-преобразования [12]. В данной главе применено дискретное пакетное вейвлет-разложение для изучения высокочастотных компонент кардиосигнала. Это позволило получить ряд числовых характеристик высокочастотных компонент, которые дают новую информацию о кардиосигнале. Проанализировано 76 записей кардиосигналов. Полученные числовые характеристики показывают их зависимость от состояния больного. Поэтому они могут быть использованы как дополнительные характеристики электрической активности сердца.

Разработана программа на MATLAB и создано автономное приложение в среде Borland C++ Builder, в которых реализованы данные методы. Для написания программы на Borland C++ Builder развиты методы использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland C++ Builder. Описание программы для анализа данных на языке MATLAB приведено в приложении 5. Листинги приложения, написанного в Borland C++ Builder с использованием математических библиотек C/C++ MATLAB, приведены в книге [18].

В разделе «Приложения» содержится описание программ на Maple и MATLAB, используемых в работе и таблицы фильтров вейвлетов и фильтров восстановления для различных значений коэффициента масштабирования N и степени B-сплайна p: N =3, N =5, N =7, N =9, p=1, p=2, p=3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Астафьева, Н.М. Вейвлет–анализ: основы теории и примеры применения // УФН. – 1996. – Т. 166. – № 11. – С. 1145-1170 (электронный вариант:

http://www.ufn.ru/ ufn96/ufn96_11/Russian/r9611a.pdf).

[2] Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории. – М. : Техносфера, 2004. – 273 с.

[3] Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам. – М.; Ижевск : РХД, 2001.

[4] Дремин, И.М. Вейвлеты и их использование / И.М. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло // УФН. – 2001. – Т. 171. – № 5. – С. 465- (электронный вариант: http://www.ufn.ru/ufn01 /ufn01_5/Russian/r015a.pdf).

[5] Мала, С. Вэйвлеты в обработке сигналов. – М. : Мир, 2005.

[6] Новиков, Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов : учебное пособие. – СПб.: Изд-во ООО «МОДУС+», 1999. 152 с. (электронный вариант доступен по адресу http://gamma.niimm.spb.su/user/dmp/BookNovikov.html).

[7] Новиков, И.Я. Теория всплесков / И.Я. Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина. – М. : Физматлит, 2005. – 616 С.

[8] Петухов, А.П. Введение в теорию базисов всплесков : учебное пособие.

http://gamma.niimm.spb.su/ user/dmp/Petukhov/Papers/book.ps.gz).

[9] Смоленцев, Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. – М. : ДМК Пресс, 2005, 303 с.

[10] Чуи, К. Введение в вэйвлеты. – М. : Мир, 2001.

[11] Ishikawa, Y. Wavelet Theory-Based Analysis of High-Frequency, HighResolution Electrocardiograms: A New Concept for Clinical Uses / Y. Ishikawa, F. Mochimaru // Progress in Biomedical Research. – 2002. – Vol. 7, No. 3. – P.

179-184.

[12] Ishikawa, Y. Wavelet Analysis for Clinicial Medicine. Chapter 6 : SAECG (Signal Averaged ECG) which was seen from Wavelet Analysis -Supplement original color images. http://www.uinet.or.jp/~ishiyasu/ch6/index.html [13] Bratteli, O. Wavelet filters and infinite-dimensional unitary groups / O. Bratteli, P. E. T. Jorgensen // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA. arXiv.org: math.FA/0001171, 2000. – 30 P.

[14] Jorgensen, P.E.T. Matrix Factorizations, Algorithms, Wavelets // Notices Amer. Math. Soc. – 2003. – Vol. 50., no. 8. – 880-894 P. (Электронный вариант статьи: http://www.math.uiowa.edu/ ~jorgen/fea-jorgensen.pdf) [15] Vaidyanathan, P.P. Multirate Digital Filters, Filter Banks, Polyphase Networks, and Applications: A Tutorial // Proceedings of the IEEE. – 1990. – Vol.

78, No. 1 – 65-93 P.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[16] Подкур П.Н. Вейвлет-анализ высокочастотных компонент кардиосигнала / П.Н. Подкур, Н.К. Смоленцев // Информационные технологии и математическое моделирование : материалы III Всероссийской научнопрактической конференции. – Анжеро-Судженск, 2004. – С. 90-92.

[17] Подкур П.Н. О высокочастотных компонентах кардиосигнала // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике : материалы V Международной научно-практической конференции. – Новочеркасск, 2005. – С. 19-26.

[18] Подкур П.Н. Пакетные вейвлет-коэффициенты кардиосигнала // Информационные недра Кузбасса : труды IV Всероссийской научнопрактической конференции. – Кемерово, 2005. – С. 221-222.

[19] Подкур П.Н. О высокочастотных компонентах кардиосигнала // Новые достижения в развитии электрокардиографии : материалы седьмой Всероссийской научно-практической конференции / ГУ НИИ кардиологии Томского научного центра СО РАМН Тюменский кардиологический центр. – Тюмень, 2005. – 3 с.

[20] Подкур М.Л. Программирование в среде Borland C++ Builder с математическими библиотеками MATLAB С/С++ / М.Л. Подкур, П.Н. Подкур, Н.К. Смоленцев. – Москва : ДМК Пресс, 2006. – 496 с. : ил., CD.

[21] Подкур П.Н. О некоторых типах вейвлетов с параметром масштабирования 3 // Вестник КемГУ. – 2006. – № 3(27). – С. 21- [22] Подкур П.Н. Об N-масштабируемости В-сплайнов // Вестник КузГТУ.

– 2006, –№ 6(57). – С. 8-10.

[23] Подкур П.Н. N-масштабируемость B-сплайнов // Тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае. – Барнаул, 2006. – С. 24-27.

[24] Подкур П.Н. О построении фильтров N-канального вейвлетовразложения и восстановления на основе B-сплайнов // Новые материалы и технологии в машиностроении : тезисы Всероссийской научно-технической конференции. – Рубцовск, 2006. – С. 16-18.

[25] Подкур П.Н. О построении вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе B-сплайнов // Электронный научный журнал «Исследовано в России», 014, 128-138, 2007. (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/ 014.pdf) [26] Подкур П.Н. Построение вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе B-сплайнов // Вестник КемГУ. – 2006. – № 4(28). – С. 19- [27] Подкур П.Н. О построении некоторых типов вейвлетов с коэффициентом масштабирования N // Электронный научный журнал «Исследовано в России», 093, 965-974, 2007. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/093.pdf [28] Подкур П.Н. О построении некоторых типов вейвлетов с коэффициентом масштабирования N // Вестник НГУ. – 2007. – №3. – 15 С.

[29] Podkur P.N. Construction of some types wavelets with coefficient of scaling N / P.N. Podkur, N.K. Smolentsev // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA.: arXiv.org: math.FA/0612573, 2006. – 19 P.

[30] Podkur P.N. About construction of orthogonal wavelets with compact support and with scaling coefficient N / P.N. Podkur, N.K. Smolentsev // arXiv:0705.4150v1 [math.FA], 2007, 15 P.