ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Петрушов Олег Алексеевич

О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи

границы области сходимости

Специальность

01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, кафедра теории чисел.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, профессор Нестеренко Юрий Валентинович

Официальные оппоненты: Попов Антон Юрьевич доктор физико-математических наук (ФГБОУ ВПО Московский государственный университет ” имени М.В.Ломоносова“, профессор) Королёв Максим Александрович кандидат физико-математических наук (ФГБУН Математический институт ” имени В. А. Стеклова РАН“)

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Саратовский государственный университет ” имени Н.Г. Чернышевского“

Защита состоится 15 ноября 2013 г в 16 часов 45 мин на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при ФГБОУ ВПО Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу:

Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 15 октября 2013 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Проблемы асимптотического поведения сумм значений теоретикочисловых функций тесно связаны с исследованием аналитических свойств преобразования Лапласа некоторых мер.

Преобразованием Лапласа меры d(t) называется интеграл РиманаСтильтьеса estd(t). (1) F [](s) = (2s) Например, функция представима в виде (1) c (t) = n 0, > 0, s то Ax при x +.

(x) ( + 1) В 1967 году И.Катаи2 доказал общую теорему. В терминах преобразования Лапласа она в предположении о мероморфности F [](s) в определённой полуплоскости, разложении Лорана в некотором полюсе +it0, > 0, t0 = 0 и поведении F [](s) в неких областях даёт оценку:

Для достаточно большого T имеем где > 0, > 1 – константы, которые вычисляются по поведению F [](s), k – кратность полюса.

Эта теорема при применении к (x) = n 0 такие, что для каждого достаточно большого T на промежутке [T, T ] найдутся x1, x2, удовлетворяющие неравенствам В диссертации доказываются теоремы об осцилляции (x) при более слабых ограничениях на особенность и область аналитичности F [](s).

Степенной ряд A(z) = an z n после замены переменной z = es становится рядом F (s) = n=1 an ens, который является частным случаем преобразования Лапласа (1) с (t) = n 0}.

Если при из всюду плотного в отрезке [0, 1] множества выражение F (i2 + ) неограничено при 0+, то особенности ряда A(z) всюду плотны на единичной окружности, значит ряд A(z) не продолжается за единичный круг.

Возможность аналитического продолжения и поведение вблизи единичной окружности функций, заданных степенными рядами, изучались давно.

Адамар привёл простейший пример функции, голоморфной в круге |z| < 1, которая не может быть продолжена за единичный круг ни в одной точке: z 2.

Если радиус сходимости степенного ряда равен 1, то невозможность продолжения за единичный круг ни в одной точке доказана в случаях лакунарности рядов (теоремы Фабри3 4 и Мандельброита5 ), арифметических условиях (теоремы Сегё6 и Карлсона7) или в случае если этот ряд отвечает тета-функции8 или модулярной форме9.

Например, теорема Фабри утверждает, что где E. Fabry, Sur les points singuliers d’une fonction donnee par son developpement en serie et l’impossibilite du prolongement analytique dans des cas tres generaux, Ann. Scient Ecole Norm. Sup. ser 3 13(1896), 367–399.

Л. Бибербах. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967, c S. Mandelbroit, Sur les series de Taylor qui presentent des lacunes, Ann. Scient Ecole Norm. Sup. ser 3.

40(1923), 413–462.

G. Szego, Uber Potenzreihen mit endlish viellen verchsiedenen Koezienten Sitzung. der Pr. Akad. der Wiss., Math.-phys. Kl 16(1922), 88– F. Carlson, Uber Potenzreihen mit ganzzahligen Koezienten, Mathematische Zeitschrift, 9(1921), 1–13.

Д. Мамфорд Лекции о тета-функциях. М.: Мир, Н. Коблиц. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М.: Мир, 1988.

и радиус круга сходимости f равен 1, то ряд f (z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке, а теорема Сегё утверждает, что коэффициенты которого могут принимать лишь конечное число различных значений, или представляет рациональную функцию, или не продолжается за пределы единичного круга. В случае рациональности (2), начиная с некоторого номера, коэффициенты образуют периодическую последовательность.

Поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям алгебраических полей, изучалось В. Н. Кузнецовым, В. В. Кривобоком, Е. В. Сецинской10 в 2005 году.

Известен ряд работ о поведении степенных рядов с коэффициентами – значениями арифметических функций при стремлении к 1 по радиусу единичной окружности. Например, в качестве коэффициентов рассматривались µ(n) – функция Мёбиуса, (n) – функция Эйлера, (n) – функция Мангольдта, (n) – число делителей n ( Г.Х.Харди, Д.Е.Литтлвуд11, Катаи12, С Герхолд13, Бэнкс, Лука, Шпарлинский14, Вигерт15).

Арифметическая функция (n) называется мультипликативной, если (mn) = (m)(n) при (m, n) = 1, вполне мультипликативной, если (mn) = (m)(n) для всех m, n аддитивной, если (mn) = (m) + (n) при (m, n) = 1, вполне аддитивной, если (mn) = (m) + (n) для всех m, n N.

В 2009 году П.Борвейн и М.Конс16 доказали общий результат для вполне мультипликативных функций, принимающих два значения. Если f (n) – нетривиальная вполне мультипликативная функция N {1, 1}, то В.Н. Кузнецов,В.В. Кривобок,Е.В. Сецинская, О граничных свойствах одного класса степенных рядов, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам, 2005.3, 2005, 40–47.

G.H. Hardy,J.E. Littlewood, Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41(1916) no 1, 119–196.

I. Katai, On oscillations of number-theoretic functions, Acta Arithmetica, 13(1967), 107–122.

S. Gerhold. Asymptotic estimates for some number-theoretic power series, Acta Arithmetica, 142(2010), no 2, 187–196.

W.D. Banks, F. Luca, I.E. Shparlinski, Irrationality of Power Series for Various Number Theoretic Functions, Manuscripta Math, 117(2005), 183–197.

S. Wigert. Sur la serie de Lambert et son application a la theorie des nombres. Acta. Math, 41(1916), no 197–218.

P. Borwein M. Coons. Transcendence of Power Series for some Number Theoretic Functions. Proc of the American Math. Soc., 137(2009),no 4, 1303–1305.

– трансцендентная функция над Z[x]. Отсюда они вывели, что функции трансцендентны над Z[x]. Здесь (n) – функция Лиувилля.

Возникают задачи об обобщении подобных результатов. Во первых рассматривать степенные ряды с коэффициентами – значениями арифметических функций при стремлении переменной к корням из единицы по радиусам единичной окружности и во вторых обобщить классы арифметических функций, для которых это можно сделать.

Цель работы – доказать аналоги тауберовых теорем для преобразований Лапласа мер, не являющихся положительными и вывести из этих аналогов асимптотические оценки поведения некоторых арифметических функций и степенных рядов с коэффициентами – значениями некоторых арифметических функций при стремлении по радиусу к единичной окружности.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты. Все они являются новыми.

1. Доказано, что если преобразование Лапласа действительной функции удовлетворяет некоторым условиям, то эта функция допускает двустороннюю омега-оценку, которая зависит от поведения преобразования Лапласа вблизи особой точки. Параметры омега-оценки эффективны.

Доказанная омега-оценка является аналогом тауберовой теоремы для достаточно общих случаев мер.

2. Исследовано асимптотическое поведение при стремлении переменной к корням из единицы по радиусам единичной окружности для общих классов степенных рядов с коэффициентами – значениями мультипликативных и аддитивных функций, определяемых небольшим количеством ограничений, откуда в частности следует непродолжаемость этих степенных рядов за единичный круг.

3. Исследовано асимптотическое поведение степенных рядов с коэффициентами – значениями функции Мёбиуса при стремлении переменной к корням из единицы по радиусам единичной окружности.

Впервые получены нетривиальные омега-оценки, характеризующие поведение степенного ряда с коэффициентами µ(n).

Основные методы исследования.

В работе используются методы аналитической теории чисел и мультипликативной теории чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты дают способ исследования асимптотического поведения разных теоретико-числовых функций и рядов и представляют интерес для специалистов по аналитической теории чисел, арифметическим функциям и степенным рядам.

Апробация результатов.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ и научных конференциях:

• Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством проф. Ю.В. Нестеренко, проф. Н.Г. Мощевитина в 2012–2013 гг;

• Семинар по теории диофантовых приближений под руководством проф.

Ю.В.Нестеренко в 2012–2013 гг ;

• XVII Международная конференция Ломоносов в Москве (2011 г, апрель, 11-15) • VIII Международная конференция Алгебра и теория чисел:

современные проблемы и приложения, посвящённая 190-летию П.Л.Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова в Саратове (2011 г, сентябрь 12-17 ).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4]. Работа [2] опубликована в журнале рекомендованном ВАК. Работа [4] – тезис доклада на международной конференции.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из трёх глав и списка литературы.

Полный объём диссертации – 118 страниц, библиография включает наименований.

Содержание главы 1 Первая глава – введение. Здесь мы приводим мотивацию наших исследований, историю проблемы, объясняем результаты и структуру работы.

Содержание главы 2. В главе 2 из свойств преобразования Лапласа F [](s) (см (1)) вблизи границы области аналитичности выводятся свойства функции (t) и рассматривается случай, когда (t) в равенстве (1) не монотонна, и особенность преобразования Лапласа не лежит на действительной прямой. Общий результат применяется к теоретикочисловым функциям.

В параграфе 2.1.1 доказываются теоремы об осцилляции (x), (x) при более слабых ограничениях чем в тауберовой теореме и теореме Катаи на особенность и область аналитичности F [](x).

Теорема 1. Дана действительная функция (t), абсолютно непрерывная на каждом отрезке [0, R] ( R > 0), а интеграл (1) сходится в полуплоскости s > 1. Предположим, что функция F (s) = F [](s) обладает следующими свойствами.

1) F (s) аналитически продолжается в некоторую окрестность отрезка [0, 1].

2) F (s) аналитически продолжается в некоторую область G такую, 3) Существуют числа c > 0, > 0, n N0 такие, что Тогда справедливы неравенства Теорема 2. Пусть действительная функция (t) имеет ограниченную вариацию на любом отрезке [0, R] (R > 0), интеграл (1) сходится в полуплоскости { s > 1}, и F [](s) обладает условиями 1)–3) теоремы 1. Тогда в случае 0 > 0 справедливы неравенства:

а в случае 0 0 справедливы неравенства:

Теоремы 1 – 2 доказываются в параграфе 2.1.1.

В параграфе 2.1.2 доказывается точность неравенств, полученных в теоремах 1 – 2, а именно, что оценки в правых частях равенств (4)-(5),(6)–(9) в этих теоремах не могут быть увеличены более чем в два раза.

В параграфе 2.1.3 доказываются следствия теорем 1 – 2 для рядов и интегралов Дирихле, так как ряды и интегралы Дирихле являются преобразованиями Лапласа некоторых мер.

В параграфе 2.2.1 рассматривается пример, когда теоремы ХардиЛиттлвуда и Катаи неприменимы, а наша теорема применима. Пусть f (s) = ((s))a, где (s) = (1 21s)(s), a > 0, a Z. Так как f (s) = F [](s), где не монотонна, то теорема Харди-Литтлвуда неприменима. Особые точки f (s) не являются полюсами, поэтому теорема Катаи также неприменима. А теорема 1 даёт следующие оценки:

Пример 2. Пусть (n) – коэффициенты разложения в ряд Дирихле функции ((121s)(s))a, C(x) = n 0 – некоторая эффективно вычисляемая постоянная.

С использованием результатов параграфа 2.1.3 в параграфе 2.2. устанавливаются связи между расположением нулей дзета-функции Римана с учётом кратностей и поведением функций (s) раскладывается в ряд Дирихле с некоторыми коэффициентами (n):

В секции 3.1 изучается поведение степенных рядов (10) вблизи единичной окружности. Радиус сходимости этих рядов равен 1. Возникает вопрос о возможности продолжения этих функций за единичный круг и поведении вблизи единичной окружности.

В секции 3.1 доказывается следующая ниже теорема 3 для класса степенных рядов (10), которая влечёт за собой непродолжаемость сумм рядов (10) за единичный круг ни в одной точке. Введём ещё одно обозначение:

Пусть g(x) 0, тогда равенство f (x) = (g(x)) при x a означает, что существует > 0 и бесконечная последовательность tk a, такие что |f (tk )| > g(tk ).

Через p будем обозначать простые числа.

Теорема 3. Если C \ Z, l Z, то при любом > 0 для функции R (z) выполняется равенство В секции 3.2 рассматриваются степенные ряды с мультипликативными и аддитивными коэффициентами, и доказываются общие теоремы о поведении рядов на некоторых лучах, исходящих из точки 0 и, как следствие, получается непродолжаемость этих степенных рядов за единичный круг.

В секции 3.2 исследование поведения степенного ряда A(z) = n=1 (n)z на луче z = re при r 1 сводится к исследованию поведения функции от s, задаваемой рядом при приближении к её особым точкам. При Q последовательность e2in связана с характерами Дирихле. Поэтому ряд Дирихле (11) выражается в виде линейной комбинации рядов называется ряд Дирихле F (s, ) = (n)(n).

Исследование ряда (11) сводится к исследованию кручений (12).

Методы, изложенные в секции 3.2, позволяют исследовать поведение степенных рядов с коэффициентами – арифметическими функциями на лучах, соединяющих 0 и e2i, где Q, в отличие от предыдущих результатов, где исследование велось на луче, соединяющим 0 и 1. Они дают возможность исследовать поведение некоторых степенных рядов на лучах и доказывать непродолжаемость степенного ряда за единичный круг, откуда сразу следует трансцендентность степенного ряда над C(x).

Перейдём к описанию результатов секции 3.2.

Определение 2. Рядом Дирихле последовательности (n) называется n=1 ns.

В параграфах 3.2.1 – 3.2.2 исследуется структура рядов Дирихле мультипликативных и аддитивных последовательностей и доказываются некоторые теоремы о суммах, содержащих характеры.

С использованием этих результатов в параграфе 3.2.3 доказываются теоремы о поведении некоторых рядов Дирихле и их кручений.

С помощью доказанных результатов в параграфе 3.2. устанавливаются следующие теоремы – основные результаты секции 3.2.

Теорема 4. Пусть (n) – вполне мультипликативная функция, принимающая положительные значения, (p) p, и существуют такие A, B, 0 < B < A < B, что для всех p выполняются неравенства A (p) B. Обозначим P0 = sup{p : (p) 1 }, H(s) = pP0 (1 (p) )1, n 0 – порядок полюса H(s) в 1 и A(z) = n=1 (n)z. Тогда если (q) = для некоторого простого q, то каковы бы ни были l Z, > 0.

Из теоремы 4 следует Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 4 и, кроме того, (p) = для бесконечно многих p. Тогда степенной ряд A(z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Теорема 5. Пусть (n) – комплекснозначная мультипликативная функция, 0 < (p) p. Существуют A, B,c, 0 < B < A < B, 0 < c < 2, такие, что для всех p выполняются неравенства A (p) B, (pk ) = O(ck ). Пусть A(z) = (n)z n, Ep (s) = 1 + (pk )pks, причём для некоторого простого q. Тогда для любых l Z, > 0 при r 1.

Константа в O в условии теоремы предполагается независимой от p и k.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 5 и, кроме того, Ep (1) = p1 для бесконечно многих p. Тогда степенной ряд A(z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

В параграфе 3.2.5 доказана асимптотическая теорема, важная для исследования степенных рядов многих мультипликативных последовательностей. Рассмотрим пример её применения.

Пример 3. Пусть a C, a N0, a (n) = d|n na и Sa (z) = a (n)z n.

Пусть l 0(mod p), тогда при u 0+ справедливо асимптотическое разложение где ck – некоторые явно указанные числа, зависящие от a, k, l, p.

Доказывается это утверждение в параграфе 3.2.7.

В параграфе 3.2.6 с использованием результатов параграфов 3.2.1 и 3.2.2 доказываются следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть (n) – комплекснозначная аддитивная функция, A(z) = n=1 (n)z, Gp (s) = k=1 ((p ) (p Тогда если Gq (1) = 0 для данного простого q, то при любом l 0(mod q) верно неравенство Следствие 3. Пусть справедливы условия теоремы 6 и, кроме того, Gp (1) = 0 для бесконечно многих p. Тогда степенной ряд A(z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Если (n) – вполне аддитивная функция, то теорема 6 допускает уточнение:

Теорема 7. Пусть (n) – комплекснозначная вполне аддитивная функция, A(z) = (n)z n, |(p)| C для всех p. Тогда каково бы ни было простое число q, такое, что (q) = 0 для данного простого q, при любом l Zq \ {0} справедливо неравенство для любого l 0(mod q).

При условии вполне аддитивности функции (n) следствие допускает уточнение.

Следствие 4. Пусть справедливы условия теоремы 7 и, кроме того, (p) = 0 для бесконечно многих p. Тогда степенной ряд A(z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Результаты параграфов 3.2.4 – 3.2.6 показывают, что, наложив определённые условия на арифметическую структуру коэффициентов степенного ряда, можно получить класс рядов, непродолжаемых за единичный круг.

В параграфе 3.2.7 содержатся примеры конкретных рядов, к которым применимы теоремы. Степенные ряды многих арифметических последовательностей раскладываются в асимптотические ряды при z = e2iet и t 0+, Q.

К функции M(z) = n=1 µ(n)z не применимы общие теоремы 3 – 7, поэтому она рассматривается отдельно в секции 3.3. В параграфах 3.3.1 – 3.3.3 доказывается следующая оценка Теорема 8. Для любого рационального существует a > 0, что при r В параграфе 3.3.4 рассматриваются случаи, когда оценку при r можно усилить. В параграфе 3.3.5 выводится следствие для частичных сумм ряда µ(n)e2in.

Следствие 5. Для любого Q существует a > 0, что при x +