Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Рахмонов Парвиз Заруллоевич

Короткие тригонометрические суммы с нецелой

степенью натурального числа

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2012 2

Работа выполнена на кафедре математических и компьютерных методов анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: Гриценко Сергей Александрович доктор физико–математических наук, профессор (НИУ Белгородский государственный университет заведующий кафедрой) Авдеев Иван Федрович кандидат физико–математических наук, доцент (ГОУ ВПО Орловский государственный университет )

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 21 декабря 2012 г. в 16 ч. 45 мин.

на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертация относится к аналитической теории чисел.

Основным предметом исследований, составляющих ее содержание, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа и вывод асимптотической формулы в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа. Тригонометрические суммы впервые появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя “суммы Гаусса”.

Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряд важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Далее были исследованы полные рациональные тригонометрические суммы вида q f (x) S= e, (1) q где f (x) = an xn +... + a1 x, n > 1, (an,..., a1, q) = 1. В случае простого q = p наилучшая неулучшаемая оценка принадлежит А. Вейлю1. Он доказал, что |S| < n p.

Первые оценки суммы (1) в случае составного q были даны Хуа2. Он установил неравенство вида Оно замечательно тем, что при постоянном n в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н. Чубариков3 получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Weyl A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

Хуа ло-Ген Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. – М.:

Мир, 1964.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

Рациональная тригонометрическая сумма, как частный случай, входит в еще более общий класс сумм вида где f (x) = n mn +... + 1 m и n,..., 1 – любые вещественные числа.

Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) создал Г. Вейль4, поэтому этим суммам дали название суммы Г. Вейля. Этот метод оценок сыграл заметную роль в развитии теории чисел: он позволил дать первые решения ряда важных проблем, в частности, найти закон распределения дробных частей многочлена f (t), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

Оценки Г. Вейля, позволили дать другое решение “проблемы Варинга”, т.е. утверждения, что для каждого целого n > 1 существует r = r(n) такое, что всякое натуральное число N может быть представлено в виде с целыми неотрицательными x1,..., xr. Впервые это утверждение было доказано Гильбертом в 1909 г.

Харди и Литтлвуд5 в 1919 г. разработали новый метод решения проблемы Варинга. Разработанный ими метод позволил рассматривать проблему Варинга в гораздо более полной постановке. Они рассмотрели функцию G(n), представляющую собою наименьшее значение r, при котором все целые N, начиная с некоторого N0, представляются в виде (3). Для этой функции они вывели неравенства Харди и Литтлвуд при r > (n 2)2n1 + 5 для числа I(N ) представлений числа N в виде (3) нашли асимптотическую формулу.

В 1924 г. И.М. Виноградов6 представил число I(N ) в виде :

Из этого представления для I(N ), используя новые оценки сумм Г. Вейля, в дальнейшем И.М. Виноградов7 доказал, что асимптотическая формула Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313–352.

Hardy G.H. Litilewood J.E. The trigonometrical series associated with the elliptic - function, Acta.math, 37 (1914), 193-239.

Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга // Матем.сб., 1924, т.31, №3-4, с.490-507.

Виноградов И.М. Избранные труды. – М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Харди и Литтлвуда имеет место при В 1934 г. И. М. Виноградов7 нашел принципиально новую верхнюю границу для функции G(n):

Новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.) были получены на основе теоремы И.М. Виноградова “о среднем значении тригонометрической суммы Г. Вейля”, т.е. суммы вида Теорема о среднем это теорема об оценке сверху величины J, т.е.

интеграла J вида который представляет собой среднее значение модуля суммы S в степени 2b.

В 1942 году Ю.В.Линником8 было найдено новое доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа p. Другое p – адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа p, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой9, на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века p–адического метода в данной проблематике.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым10 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков11 дали обобщение этих результатов на кратный случай.

Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, c. 201-203.

Карацуба А.А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

Архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

В дальнейшем Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков12 получили оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). Результаты этих исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии “Теория кратных тригонометрических сумм”. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте15.

Тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа впервые рассматривал Дезуйе16 и при c > 12 получил оценку вида Одним из обобщений проблемы Варинга является следующая задача, в которой вместо классического уравнения Варинга (3) рассматривается уравнение вида где x1, x2,... xr – натуральные числа, а c – нецелое число, и изучаются вопросы, связанные с его разрешимостью. Пусть G(c) есть наименьшее значение k, при котором все натуральные N, начиная с некоторого, представляются в виде (6). Функция G(c) аналогична функции G(n) в проблеме Варинга. Дезуйе16, воспользовавшись своей оценкой (5) доказал, что при c > 12 справедливо неравенство что по порядку величины совпадает с оценкой функции G(n), данной ранее И.М. Виноградовым (см. 17 ). Дезуйе также получил асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6) при числе слагаемых порядка c3 ln c.

Архипов Г.И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм.

–М.: Наука, 1987, –368с.

Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.

Deshouillers J. M. Probleme de Waring avec exposants non entiers // Bull.Soc. Math. France, tom 101(1973), p. 285–295.

Виноградов И.М, Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды МИАН СССР, 1984, т.168, с.4-30.

Г.И. Архипов и А.Н. Житков18 для среднего значения суммы Sc (, P ), т.е. для интеграла получили равномерную оценку сверху при c > 2. Используя эту оценку, они доказали асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6), где c > 12, при числе слагаемых k > 22c2 (ln c + 4), что в точности по порядку величины повторяет оценку (4), принадлежащую И.М.Виноградову.

Оценка (5) была существенно К. Буриевым19. Он получил оценку которая являются аналогом теоремы И.М.Виноградова17 об оценке суммы Г.Вейля на множестве точек второго класса Основным аппаратом при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми являются, тригонометрические суммы, переменные суммирования в которых принимают значения из коротких интервалов.

И.М. Виноградов первым начал изучать подобные тригонометрические суммы. Он 7 нашел оценки для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменная суммирования которой принимает значение из короткого интервала. Пусть имеет место нетривиальная оценка такой суммы.

Далее, Хазелгров20 получил нетривиальную оценку суммы S(, x, y), y x, = 64, q произвольное, и решил тернарную проблему Архипов Г.И., Житков А.Н О проблеме Варинга с нецелым показателем // Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, т.48, №6, с.1138–1150.

Буриев К. Об исключительном множестве в проблеме Харди–Литлвуда для нецелых степеней // Математические заметки, 1989, т. 46, в.4, с.127–128.

Haselgrove C.B. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc., (1951),273-277.

Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть показал, что диофантово уравнение разрешимо в простых числах p1, p2, p3.

Затем в работах21, 22, 23 эта задача была решена соответственно при С.Ю.Фаткина24 доказала при H N 8 lnc N асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения Jianya Liu и Tao Zhan25 доказали теорему Хуа Ло–гена об представимости достаточно большого натурального числа N, N 5 (mod 24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N 5 (mod 24) можно представить в виде Jianya Liu и Tao Zhan25 также доказали теорему, что достаточно большое натуральное число N, можно представить в виде Цель работы.

Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5–23.

Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

Zhan Tao On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 7 (1991), No 3, 135-170.

С.Ю.Фаткина Об одном обобщении тернарной проблемы Гольдбаха для почти равных слагаемых // Вестн. Моск. Ун-та. сер.1, математика. механика. 2001. №2, с. 22–28.

J.Y.Liu, T Zhan. HuaЎs Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669Џ690.

Изучение поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа и вывод асимптотической формулы в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получена оценка короткой тригонометрической суммы с нецелой степенью натурального числа в экспоненте.

2. Доказана асимптотическая формула для этой суммы при значениях параметра, принадлежащих малой окрестности нуля.

3. Доказана теорема, устанавливающая связь плотностных теорем для нулей дзета-функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы с поведением коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами;

4. Доказана асимптотическая формула в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального Основные методы исследования В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе метод оценки специальных тригонометрических сумм и интегралов Ван дер Корпута, метод снятия знака целой части в показателе тригонометрической суммы и формула ее остаточного члена, круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова и методы L – рядов Дирихле, методы Ю.В. Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей L – рядов Дирихле в критической полосе.

Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации и метод их получения представляют интерес для специалистов в области аналитической теории чисел.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно–исследовательских семинарах и научных конференциях.

1. Семинар Аналитическая теория чисел под руководством профессора Г.И. Архипова и профессора В.Н. Чубарикова, кафедра математических и компьютерных методов анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (неоднократно с 2009 года по 2012 год);

2. IX международная конференция Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, г. Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 24- 3. Международная научная конференция Современные проблемы математического анализа, Душанбе, Институт математики АН Республики Таджикистан, 4. X международная конференция Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, г.Волгоград, УКЦ ФМИФ ВГ-СПУ, 10- сентября 2012 года.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1–5].

Структура и объм работы.

Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы, включающего 28 наименований. Объм е диссертации составляет 73 страницы компьютерной врстки в редакторе математических формул LTEX.

Краткое содержание работы Во введении излагается история вопроса и приводится краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации. Также во введении формулируются основные результаты диссертации и кратко описывается ее содержание.

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа вида натуральное число, – вещественное число с условием 0 < || 0, 5, c > 1 – нецелое число, k = [c] + 1, положительное число больше единицы, M > 2 – натуральное число, M0 = (M + 0, 5), M1 = M0 ln(L A ln M ), c > 1 – нецелое число, k = [c] + 1, число больше единицы, c – нецелое число с условиями число больше единицы, c – нецелое число с условиями (8). Тогда при y (xL ) 422[c] и || x1c y 1 L A справедлива асимптотическая формула Для единообразия с теоремой 1.1 в приложениях, имея в виду, что теорему 1.2 сформулируем в следующем ослабленном форме.

положительное число больше единицы, c – нецелое число с условиями (8). Тогда при y асимптотическая формула Доказательство теорем 1.1 и 1.2 проводится методом оценок тригонометрических сумм Ван – дер – Корпута. Одним из факторов, за счет которых удается получить нетривиальную оценку короткой суммы Sc (; x, y), является новый метод снятия знака целой часты в экспоненте тригонометрической суммы и формула ее остаточного члена. С помощью этого метода снятия знака целой часты в экспоненте тригонометрической суммы в сочетании методом Ван – дер – Корпута, грубо говоря, оценка суммы Sc (; x, y), фактически сводится к оценке суммы в простых чисел p1, p2 и натурального n справедлива асимптотическая формула:

Доказательство теоремы 2.2 проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова и его основу составляют следующие результаты.

• Теорема 1.1 об оценке коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа Sc (; x, y) для всех точках [0, 5, 0, 5], включая окрестности точек с малыми знаменателями, за исключением только малой окрестностью нуля.

Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), рр. 501-516.

• Теорема 1.2 об асимптотической формуле с остаточным членом суммы Sc (; x, y) для точек, принадлежащих малой окрестностью • Следствие 2.1.1 теоремы 2.1 о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами S(; x, y) для точек, принадлежащих малой окрестностью нуля.

Следствие 2.2.1. Существует N0 такое, что каждое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы двух простых чисел p1, p2 и целой части степени c натурального числа n с условиями где c – нецелое фиксированное число с условиями В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю В.Н.Чубарикову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

1. Рахмонов П.З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Вестн. Моск. Ун-та. сер.1, математика.

механика, 2012. №6, 51–55.

2. Рахмонов П.З. Оценка коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа // Доклады АН Республики Таджикистан, 2012, том 55, №3, с. 185-191.

3. Рахмонов П.З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Тезисы докладов IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения, Тула, 24-26 апреля 2012 года, с.

4. Рахмонов П.З. Тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа вида // Материалы международной научной конференции Современные проблемы математического анализа, Душанбе, 29-30 июня 2012 года, с. 143–144.

5. Рахмонов П.З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Тезисы докладов X Международной конференции Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения, Волгоград, 10–16 сентября 2012 года, с. 57-58.