На правах рукописи

Петухов Александр Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ К

ФИЛЬТРАМ БУРОВЫХ СКВАЖИН

05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь 2006 3

Работа выполнена на кафедре прикладной математики ГОУ ВПО «СевероКавказский государственный технический университет» (СевКавГТУ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Толпаев Владимир Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чеканов Владимир Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Алтухов Виктор Иванович

Ведущая организация:

Кубанский государственный университет. (г. Краснодар)

Защита состоится 1 декабря 2006 года в 1500 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.245.09 при ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» по адресу:

355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2, ауд. Г-305.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевероКавказского государственного технического университета

Автореферат разослан октября 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент О.С. Мезенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования. В практике водо-, нефте- и газодобычи применяются скважины, наиболее сложная в конструктивном отношении часть которых относится к располагающемуся в продуктивном пласте окончанию их ствола. Окончание скважины, принимающее из пласта продукт, называемое активной частью ствола скважины, всегда снабжается фильтром той или иной конструкции1. Главное назначение фильтра, во-первых, в том, чтобы предупредить так называемое «запескование» ствола скважины, снижающее её эксплуатационные качества и приводящее в дальнейшем к необходимости проведения длительных и дорогостоящих ремонтных работ. Во-вторых, в том, чтобы обеспечить активную часть ствола скважины достаточно высокими «пропускными» для извлекаемого из пласта продукта свойствами. Наиболее распространённые в практике методы борьбы с запескованием скважины схематически показаны на рис. 1.

а б в Расширенная скважина Нефтесодержащий песок Хвостовик с щелевидными перфорированной обсадной Рисунок. 1. Методы борьбы с запескованием скважины2: а и б – с применением фильтровхвостовиков, в – с применением фильтра-хвостовика и гравийной засыпки.

Басарыгин Ю.М., Булатов А.И., Пролесков Ю.М. Заканчивание буровых скважин. – М.: «Недра», 2000.

Грей Ф. Добыча нефти /Пер. с англ. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2004.

Для того, чтобы фильтр обладал высокими пропускными свойствами, его скважность – отношение суммарной площади отверстий фильтра к общей площади активной части ствола скважины – должна быть достаточно высокой (около 8%-15%). А для того, чтобы он мог надёжно предупреждать запескование, отверстия фильтра должны иметь маленькие размеры, сопоставимые с диаметрами выносимых потоком флюида фракций из разрушаемой со временем призабойной зоны пласта. Поэтому для предупреждения запескования фильтр должен иметь достаточно малую прочностными качествами призабойной зоны пласта. Таким образом, два основных свойства, которым должен удовлетворять скважинный фильтр, заставляют при заданных фильтрационных и прочностных качествах породы призабойной зоны пласта искать такие его конструкции, чтобы обеспечить достаточно высокий дебит скважины с фильтром, обладающим, повозможности, наименьшей скважностью.

Долгое время для определения оптимальных характеристик фильтров применялись методы электролитического моделирования. В частности, гидротехнических свойств фильтров применялись Щуровым В.И. Однако электролитические модели позволяют исследовать только зависимость дебита скважины с заданными конструктивными особенностями фильтра от его скважности и не дают ответа о влиянии конструктивных особенностей фильтра на его способности разрушать породу пласта в призабойной зоне.

Для ответа на последний вопрос нужно знать, во-первых, распределение давления около щелей и отверстий фильтра и, во-вторых, предельные градиенты давлений, при превышении которых начинает разрушаться распределения давления около щелей фильтра и занимался Миллер Ф.Г. Miller F.G. Pressure Distribution about a slotted Liner in a Producing Oil Well. – «Petr. Techn.», Aug. В то время, как экспериментальные поиски наилучшей конструкции фильтра требуют большого времени и больших материальных затрат, методы математического моделирования течений жидкости к фильтрам буровых скважин, чему и посвящена данная диссертационная работа, позволят сократить и время проектирования фильтра, и материальные затраты.

определяется несколькими основными факторами:

• необходимостью создания унифицированных аналитических методов, фильтров для продуктивных пластов с заданными фильтрационными и прочностными качествами породы в призабойной зоне;

• сужением круга поисков оптимальных параметров фильтров путём разработки математических моделей течений жидкости к некоторым их базовым конструкциям;

конструктивных параметров фильтров;

• разработкой новых и усовершенствованием известных аналитических методов моделирования течений жидкости к базовым конструкциям фильтров буровых скважин.

История исследования фильтрации жидкости к гидродинамически несовершенной скважине в круговой призабойной зоне, по-видимому, начинается с работы Маскета М.4, опубликованной в 1943 г. В этой работе Маскет М. опубликовал приближённое решение задачи для цилиндрической скважины в неограниченном по толщине пласте. В приведённом решении перфорационным фильтром: существует оптимальное число отверстий на единицу длины скважины, выше которого увеличивать число отверстий не Muskat M. The Effect of Casing Perforations on Well Productivity. – Trans Amer. Inst. Min. Met, Eng., 1943. – Vol. имеет практического смысла.

В 1953 г. Хейн Л.А.5 приводит решение задачи о фильтрации к несовершенной цилиндрической скважине. Задачу о перфорационном расположенных друг против друга по всей длине ствола скважины.

В 1964 г. Тихов М.Н.6 привёл другие решения задачи о фильтрации жидкости к цилиндрической несовершенной скважине. Решения Тихова М.Н.

отличаются от предложенных Маскетом М. и Хейном Л.А. более точными и более общими постановками задач. Однако более точные решения Тихова М.Н. представлены громоздкими аналитическими формулами, мало приспособленными для программной реализации.

Монография Тихова М.Н. по интерференции -малых отверстий остаётся до сих пор наиболее важной в теории фильтров буровых скважин. С помощью этой теории Тихову М.Н. удалось объяснить все специфические особенности фильтрации жидкости к гидродинамически несовершенной скважине. А именно, во-первых, эффект существования оптимального числа отверстий на единицу длины ствола скважины. Во-вторых, он доказал, что форма -малых отверстий не оказывает влияния на дебит несовершенной скважины. В-третьих, указал ограничительные условия, при соблюдении которых математические решения соответствуют гидродинамическому условию существования фильтрации с линейным законом Дарси.

Из других работ по теории фильтров скважин следует отметить работы Шульгина Д.Ф.7 и Толмачёва В.С.8, исследовавших вопрос о влиянии скважинных фильтров. Закономерности фильтрации к перфорированным Хейн Л.А. Установившийся приток жидкости и газа к несовершенным скважинам. //ДАН СССР, 1953. – Т.XCI. – № 2.

Тихов М.Н. Математическая теория движения жидкости и газа к центральной несовершенной скважине. – Харьков: Изд. Харьковского ин-та им. А.М.Горького, 1964.

Шульгин Д.Ф. К вопросу о неравномерной перфорации фильтров скважины. //Изв.ВУЗОВ, «Нефть и газ».

– 1962. – № 9.

Толмачёв В.С. К вопросу о неравномерной перфорации продуктивных пластов в газовых скважинах. //Изв.

ВУЗов, «Нефть и Газ», 1960. – № 8.

фильтрам изучали также Додсон и Кордуэлл9. Основные результаты работ Толмачёва В.С., Шульгина Д.Ф. и Додсона, Кордуэлла лишь подтверждают и конкретизируют исследования Тихова М.Н., Хейна Л.А. и Маскета М.

К теории фильтров примыкает и работа Петерсона, Рочвера и Альбертсона10, в которой авторы исследовали изменение давления внутри скважинного фильтра по его длине.

И всё-таки несмотря на большое количество работ по теории скважинных фильтров осталась практически не исследованной проблема, на которую в августе 2002 года обратил внимание моего научного руководителя директор центра новых технологий добычи нефти во Всероссийском Горбунов А.Т. поставил следующую задачу: «Определить, у какой из двух скважин, оснащенных однотипными фильтрами одинаковой скважности, дебит больше – у которой меньше перфорационных отверстий, но они у неё более крупные по размерам, или у которой перфорационных отверстий больше, но их размеры меньше? Насколько существенно отличие дебитов таких скважин?».

Целью диссертации является разработка математических моделей фильтрации жидкости к центральной несовершенной скважине, каковой и является скважина, оборудованная фильтром.

Для достижения поставленной цели в работе, во-первых, выводятся скважинных фильтров, во-вторых, создаётся программный комплекс для расчёта течений и, в-третьих, проводятся вычислительные эксперименты, позволяющие сделать выводы практического характера по конструкциям тех или иных фильтров.

Dodson С.R., Cardwell W.Т. Flow into slotted liners and an application of the theory to core analysis. – «Petr.

Techn.», March, 1944. – Vol. 7, № 2.

Petersen J.S., Rochwer C., Albertson M.L. Effect of well screens on flow into. //Proc. Amer. Soc. Civil Engrs., 1953. – Vol. 79, №365.

Методы данной работы имеют некоторую аналогию с теорией Тихова М.Н. Однако в данной работе вместо применявшейся им группы интегральных граничных условий применяется процедура осреднения потенциала по площади каждого отверстия, которая привела нас к методу, элементов (ММГЭ). Положительной стороной метода ММГЭ, в отличие от программной реализации.

Методы исследования. Для исследования течений жидкости к диссертационной работе используются методы математической физики, программные среды Maple 6, MathCad, C++ и Matlab. Числовые значения дебитов скважин с типовыми базовыми конструкциями фильтров в работе экспериментов.

результатов и формулируемых на их основе практических выводов обеспечивается корректностью производимых математических выкладок, базирующихся на апробированном математическом аппарате (методах вытекающих из разработанных математических моделей, подтверждается также результатами многочисленных сравнительных расчётов.

Научная новизна и теоретическое значение работы заключается в следующем:

скважинам.

2. С помощью ММГЭ разработаны новые математические модели течений жидкости к скважинным фильтрам всех основных базовых конструкций (к вертикально-щелевому, каркасно-стержневому, кольчатому и перфорационному фильтрам).

3. На примере фильтров с базовыми конструкциями исследована проблема, поставленная профессором Горбуновым А.Т., о значимости влияния плотности и размеров щелей фильтра с зафиксированной скважностью на дебит скважины.

4. Созданы программные пакеты, основанные на среде разработки математических программ Maple, позволяющие проводить всесторонние исследования зависимости дебита скважины от конструктивных параметров её фильтра.

Практическая значимость. Разработанные методы математического моделирования течений жидкости к буровым скважинам с базовыми конструкциями фильтров могут быть использованы для проектирования окончания скважин работающих в пластах с известными фильтрационными и прочностными свойствами. Применение методов инженерной математики в сочетании с наглядностью и физической ясностью предложенных математических моделей позволяет их рекомендовать к внедрению в учебный процесс для подготовки специалистов в области нефтяной и газовой промышленности.

В Северо-Кавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь) научные результаты проведённых исследований использовались в учебном процессе при подготовке студентов специальностей 010200 «Прикладная математика и информатика» и комплексного переменного», «Вычислительный эксперимент в задачах механики» и «Прикладные задачи теории фильтрации». Кроме того, результаты диссертации в СевКавГТУ использовались в постановках задач дипломных работ. Применение в учебном процессе результатов диссертационной работы в СевКавГТУ подтверждается актом о внедрении.

Апробация работы. По мере получения основных результатов, а также в завершённом виде диссертация докладывалась на научных семинарах в Северо-Кавказском государственном техническом университете на кафедре прикладной математики (рук. д.ф.-м.н. Толпаев В.А.).

Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на:

- четвёртой региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии» (Георгиевск, 2004 г.) - четвёртой международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004 г.) - пятой межрегиональной научной конференции «Студенческая наука – экономике России» (Ставрополь, 2005 г.) «Инфокоммуникационные образовании» (Ставрополь, 2006 г.) - третьей Всероссийской научной конференции молодых учёных и фундаментальных наук в регионах» (Краснодар, 2-5 октября, 2006 г.) Публикации. По теме диссертации всего опубликовано в соавторстве 10 научных работ, среди которых 6 статей напечатаны в журналах «Нефтепромысловое дело», «Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион.

Естественные науки», «Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета», входящих в перечень ВАК РФ. В изданных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчётных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод математического моделирования течений жидкости к фильтрам различных конструкций, базирующийся на применении модифицированного метода граничных элементов, и его частный случай – метод средневзвешенного потенциала.

оборудованным базовыми конструкциями фильтров (вертикально-щелевым, каркасно-стержневым, кольчатым и перфорационным фильтрами).

3. Результаты исследования задачи Горбунова А.Т. для вертикальнощелевого фильтра с малой скважностью.

4. Результаты вычислительных экспериментов по зависимости пропускной способности фильтров от их скважности и конструкционных параметров.

Личный вклад автора. Основные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Разработка и обоснование вычислительных экспериментов по исследованию течений жидкости к скважинным фильтрам выполнены автором, при обсуждении материалов диссертации с научным руководителем, за что соискатель выражает Толпаеву Владимиру Александровичу искреннюю благодарность.

Программное обеспечение для проведения многочисленных вычислительных экспериментов диссертантом создано самостоятельно.

Структура и объём работы. Общий объём диссертации – 157 стр., из них 140 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, трёх глав, содержащих 11 параграфов, заключения и списка литературы из названий, из которых 11 на иностранных языках и 7 Интернет-ресурсы.

Диссертация содержит 8 таблиц, 10 графиков, 26 рисунков и одного приложения объёмом 4 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

приводится обзор литературы по теме исследования; указывается новизна и практическая значимость; формулируются цели и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту; даётся краткое изложение диссертации.

В первой главе диссертационной работы по результатам анализа литературных исследований приводятся типичные конструкции скважинных водо- и нефтедобывающих фильтров и даётся математическая постановка задачи о расчёте фильтрации жидкости к ним, которая в общем случае сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала течения = в области V = {rc rR; 0 z H} со следующими граничными условиями. На круговой цилиндрической поверхности питания r = R с осью, совпадающей с осью скважины, должно выполняться условие На непроницаемых подошве z = 0 и кровле z = H пласта выполняются условия На контактной с пластом круговой цилиндрической поверхности r = rc ствола перфорированной скважины задаются смешанные граничные условия В формулах (1)-(5) x, y, z – декартовые координаты, вертикально направленная вверх ось z которых совмещена с осью скважины, r и – полярные координаты, Si – перфорационные отверстия на стволе скважины, а S0 – непроницаемая часть её ствола. Остальные обозначения соответствуют общепринятым: k – проницаемость однородной изотропной призабойной зоны скважины (ПЗС), µ – коэффициент динамической вязкости флюида, P – приведённое давление, PП и Pci – заданные постоянные значения перфорационных отверстий, N – общее число перфорационных отверстий.

Математическая сложность решения краевой задачи (1)-(5), во-первых, в том, что в общем случае перфорационные отверстия на стволе скважины распределены произвольно, во-вторых, в том, что на каждом отверстии постоянные значения ci индивидуальны, и, в-третьих, в том, что на границе V расчётной области V задаются смешанные краевые условия (2)-(5). В диссертации для решения сформулированной задачи (1)-(5) предложена модификация метода граничных элементов (ММГЭ), основанная на переходе от решаемой краевой задачи к вспомогательной внутренне-краевой задаче со следующими условиями Неймана на всей границе V расчётной области:

Для существования решения вспомогательной внутренне-краевой задачи Неймана (1), (6) неопределённые постоянные qi должны удовлетворять условию где Si для i = 1, 2,..., N – площадь i-го перфорационного отверстия, а для i = m Sm = 2RH – площадь поверхности питания.

Решение вспомогательной задачи Неймана строится с помощью функции Грина11 G(M, P) этой задачи и приводит к представлению потенциала в следующем виде:

В формуле (8) через M обозначена внутренняя точка расчётной области (точка внутри ПЗС), Pi для i = 1, 2,..., N – точка на поверхности i-го перфорационного отверстия, а для i = m – точка на поверхности питания. qi и C – (m + 1) неопределённые постоянные. Эти постоянные qi и C в диссертации предлагается выбирать так, чтобы граничные условия (2) и (4) выполнялись в среднем по площади каждого Si, т.е. чтобы В развёрнутом виде равенства (9) выглядят следующим образом:

В системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (10) через aik обозначены коэффициенты Таким образом, для (m + 1) неизвестных постоянных qi и C получена система из m линейных уравнений (10) и одного уравнения (7). Решая эту систему, найдём все неопределённые постоянные, а значит по формуле (8) и Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. – М.: Изд-во МГУ;

Наука, 2004.

потенциал исследуемого течения, с помощью которого затем можно проводить всесторонние исследования характеристик фильтрационных потоков, например, градиентов давлений возле отверстий (щелей). Дебит Q скважины после решения СЛАУ (10) найдётся по формуле Q = 2RH·qm.

Предложенный метод решения внутренне-краевой смешанной задачи (1)-(5) позволяет повышать точность расчётов до требуемых пределов путём дополнительного разбиения участков S1, S2,..., Sm на более мелкие части. От этого лишь увеличится количество слагаемых в формуле (8) и увеличится размерность СЛАУ (10) без принципиального усложнения самой задачи.

распределены по поверхности ствола в правильном геометрическом порядке, исходная краевая задача (1)-(5) может быть сформулирована в силу симметрии течения лишь для отдельного перфорационного отверстия.

Именно подобные частные задачи и рассматривались Хейном Л.А. В диссертации для фильтров с геометрически правильным распределением перфорационных отверстий (щелей) из общего решения (6)-(10) для частных случаев, подобных задачам Хейна Л.А., вытекает следующее решение:

Приток q0 флюида к отдельному перфорационному отверстию (щели) всей скважины, на поверхности которой N отверстий (щелей) будет равен Описанный частный случай (12) применяется во второй главе диссертации для расчёта течений жидкости к фильтрам вертикальнощелевой, кольчатой и перфорационной конструкций. Подчеркнём, что для этих частных случаев идею модифицированного метода граничных элементов удаётся реализовать в сочетании с решением рассматриваемых задач классическим методом Фурье. Такой вариант ММГЭ, не требующий построения функции Грина, в работе называется методом средневзвешенного потенциала.

Принципиальные схемы конструкций12 этих фильтров приведены на рисунках 2, 3 и 4.

Рисунок 2. Схема вертикально-щелевого фильтра, используемого в вододобывающих скважинах.

rc – радиус скважины, – половина раствора угла щели, 0 – половина раствора угла непроницаемой стенки, R – радиус контура питания.

Рисунок 3. Схема кольчатого фильтра, используемого в вододобывающих скважинах. rc – радиус скважины, lщ - половина высоты щели, lc - половина высоты непроницаемой стенки.

Гаврилко В.М., Алексеев В.С. Фильтры буровых скважин. – М.: «Недра», 1985.

Рисунок 4. Схема фрагмента фильтра перфорационной конструкции с рядным расположением перфорационных отверстий. Справа, сегмент фильтра элементарной области притока жидкости, BB1C1C - область поверхности фильтра, OO1 - ось симметрии ствола скважины, h - высота сегмента, 0 - угол раствора сегмента, отв и н.ч – площади четвертей отверстия и непроницаемой части стенки отдельного фрагмента перфорационного фильтра.

Решения задач для вычисления удельного дебита q скважин с средневзвешенного потенциала. Доказано, что для всех перечисленных типов фильтров удельный дебит q может быть вычислен по общей формуле где q0 – дебит соответствующей совершенной скважины, вычисляемый по формуле Дюпюи. Однако для каждой названной конструкции фильтра дополнительного фильтрационного сопротивления, свои. По этим формулам соискатель в математической среде Maple 6 разработал программы для расчёта дебитов q / q0 с построением соответствующих графиков.

Результаты некоторых вычислительных экспериментов, выполненных с помощью этих программ, представлены на рисунках 5, 6, 7 и 8.

Толпаев В.А., Петухов А.А., Захаров В.В. Математические модели работы скважинных фильтров //Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – Ростов-на-Дону, 2004. – № 3.

Удельный дебит q / q Рисунок 5. Удельный дебит вертикально-щелевого фильтра. (Скважность скв меняется при зафиксированном угле 2 за счёт изменения числа N вертикальных щелей).

Рисунок 6. Удельный дебит кольчатого фильтра. (Скважность скв при зафиксированном размере горизонтальных щелей 2lщ меняется за счёт изменения их числа N на фильтре с постоянной длиной H. Толщина 2lc колец с изменением N при зафиксированных H и lщ, естественно, меняется).

Удельный дебит q / q Рисунок 7. Удельный дебит фильтра перфорационной конструкции с размерами H = 1 м, rc = 10 см. (Скважность скв при зафиксированных размерах отв и hотв перфорационного отверстия прямоугольной формы меняется за счёт изменения их общего числа Nг · Nв на единице площади фильтра. Естественно, с изменением числа Nг · Nв отверстий с зафиксированными размерами площади непроницаемых частей н.ч тоже меняются).

Удельный дебит q / q Рисунок 8. Сравнение пропускной способности фильтров различных конструкций.

По результатам вычислительных экспериментов, представленных в виде графиков на рис. 5, 6, 7 и 8, по задаче профессора Горбунова А.Т.

можно дать следующие ответы.

1) Из двух однотипных фильтров с одинаковой скважностью дебит больше у того, у которого больше количество перфорационных отверстий (щелей). К этому выводу приводят графики на всех трёх рисунках 5, 6 и 7.

Так, для вертикально-щелевого фильтра условие означает, что увеличение угла раствора вертикальных щелей сопровождается уменьшением их количества. Графики на рис. 5 показывают, что уменьшение количества щелей при неизменной скважности приводит к падению дебита скважины. Точно такая же картина видна и по графикам на рис. 6 и 7.

Поэтому сделанный вывод относится к фильтрам всех рассмотренных в работе конструкций.

2) Графики на рис. 5 и 6 показывают, что при зафиксированном значении скважности фильтра его пропускную способность можно заметно менять путём изменения количества перфорационных отверстий (щелей).

оборудованной кольчатым фильтром с щелями 2lщ = 5,0 мм составляет 80% от дебита q0 совершенной скважины, а дебит для однотипного фильтра с щелями 2lщ = 0,4 мм составляет 98% от дебита q0.

наделённых одинаковой скважностью, фильтр перфорационного типа имеет, согласно графикам на рис. 8, наибольшую пропускную способность.

В третьей главе работы продолжены исследования методами теории функций комплексного переменного течений, во-первых, к вертикальнощелевому фильтру с весьма малой скважностью и, во-вторых, к каркасностержневому фильтру.

Для течений жидкости к вертикально-щелевому фильтру с малой скважностью предложена новая математическая модель, основанная на использовании равномерно распределённых по окружности особенностей типа точечных стоков. В результате применения этого метода построен комплексный потенциал течения, гидродинамическая сетка течения к вертикально-щелевому фильтру с малой скважностью и выведена формула для расчёта удельного дебита скважины с этим фильтром где q0 – удельный дебит соответствующей совершенной скважины, - полуширина щели, R – радиус контура питания и rc – радиус скважины.

Ранее решение этой же задачи совершенно другим и гораздо более сложным сопоставительные расчёты удельного дебита вертикально-щелевого фильтра с малой скважностью по формуле (14) и по соответствующей формуле Пилатовского В.П. Результаты этих расчётов представлены на рис. 9.

Относительные расхождения (%) Рисунок 9. Относительные расхождения в расчётах удельного дебита вертикальнощелевого фильтра малой скважности по формуле (14) и по формуле Пилатовского В.П.

Пилатовский В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. – Москва, «Недра», 1966.

Как видно из графиков на рис. 9, предложенная формула (14) и результатам. Однако достоинство формулы (14) в том, что значительно более простой по сравнению с Пилатовским В.П. метод её вывода позволяет её применять в учебном процессе при подготовке специалистов нефтегазовых специальностей на доказательном, а не на описательном уровне.

С помощью формулы (14) были продолжены исследования по задаче Горбунова А.Т. о зависимости пропускной способности вертикальнощелевого фильтра малой скважности не только от скважности (что делали многие авторы), но и от количества щелей на единице площади фильтра.

Результаты этих исследований представлены в виде графиков на рис. 10.

Рисунок 10. Зависимость удельного дебита вертикально-щелевого фильтра от скважности и от числа щелей Из графиков на рис. 10 видно, что для повышения производительности целесообразнее увеличивать число прорезей с одновременным уменьшением их ширины, нежели увеличивать ширину щелей при их зафиксированном числе. Так из рис. 10 видно, что фильтр с 20 прорезями при скважности скв. = 0,02 обеспечивает производительность в 77% от дебита совершенной скважины. А фильтр с такой же скважностью, но со 100 прорезями обеспечит производительность в 94% от аналогичной совершенной скважины. Кроме того, графики на рис. 10 позволяют сделать важный для практики вывод, что оптимальное число щелей, обеспечивающих при 2 / rc (0,001 0,010) производительность q / q0 (0,84 0,95) равно 60 80.

Для течений жидкости к каркасно-стержневому фильтру предложена новая математическая модель, основанная на использовании равномерно распределённых по окружности точечных особенностей типа диполей, внесенных в поток к стоку в центре этой окружности. В результате суперпозиции течений от указанных особых точек найден комплексный потенциал исследуемого потока. С его помощью построена гидродинамическая сетка течения к каркасно-стержневому фильтру и выведена формула для расчёта удельного дебита скважины d - диаметр стержней, а остальные обозначения прежние.

Рисунок 11. Удельный дебит каркасно-стержневого фильтра (по формуле (16)) и сравнение его с удельным дебитом вертикально-щелевого фильтра по формуле Пилатовского В.П.

С помощью формулы (16) и формулы Пилатовского В.П. для дебита вертикально-щелевого фильтра был проведён вычислительный эксперимент, результаты которого представлены в виде графиков на рис. 11. По этим графикам можно сделать следующие выводы. 1) Согласно формулам Пилатовского В.П. и (16) при одинаковых скважностях удельный дебит скважины с вертикально-щелевым фильтром больше удельного дебита скважины с каркасно-стержневым фильтром. 2) Удивительным и пока что не объяснённым остаётся общий для формул (14) и Пилатовского В.П. феномен, заключающийся в том, что при весьма малой скважности скв. = 0,005 дебит вертикально-щелевого фильтра оказывается неожиданно большим по конструкции. Можно предположить, что этот феномен вызван принятой гипотезой о справедливости линейного закона Дарси в непосредственной близости к фильтру-хвостовику. Для объяснения этого феномена, повидимому, нужны дополнительные исследования течений к вертикальнощелевому и каркасно-стержневому фильтрам-хвостовикам с нелинейными (в частности, с двучленным) законами Дарси.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации сделан вклад в актуальное направление по теории фильтрации несжимаемой жидкости к центральным несовершенным скважинам. В частности, разработаны новые математические модели, позволяющие рассчитывать дебиты скважин с различными конструкциями фильтров: вертикально-щелевой, каркасно-стержневой, кольчатой и перфорационной.

К основным результатам диссертации относятся следующие:

1. Развит новый метод математического моделирования течений к центральным несовершенным скважинам – модифицированный метод средневзвешенного потенциала.

2. На основе ММГЭ, метода средневзвешенного потенциала и методов теории функций комплексного переменного разработаны новые математические модели фильтрации к фильтрам всех основных базовых конструкций: вертикально-щелевой, каркасно-стержневой, кольчатой и перфорационной конструкций.

3. Впервые проведены исследования и сделаны соответствующие выводы по задаче профессора Горбунова А.Т. о зависимости дебита скважины не только от скважности её фильтра, но и от плотности перфорационных отверстий (щелей).

4. Для исследования фильтрационных характеристик скважин в зависимости от конструктивных параметров их фильтров в среде разработки математических программ Maple 6 созданы программы, по предложенным в работе алгоритмам.

Основные результаты диссертационной работы изложены в публикациях, в том числе 6 работ в журналах из перечня ВАК РФ:

Толпаев В.А., Захаров В.В., Петухов А.А. Расчёт дебитов скважинных региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии», 16-17 апреля 2004г., Георгиевск. – Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. С.35- Толпаев В.А., Захаров В.В., Петухов А.А. Комплексные потенциалы фильтрационных течений в прямолинейно анизотропных средах с произвольной ориентацией осей тензора проницаемости //Материалы четвёртой международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», 23 января 2004г., Новочеркасск. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2004. Ч. 2.

Толпаев В.А., Захаров В.В., Петухов А.А. Исследование фильтрации в призабойной зоне и стволе нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром //НТЖ «Нефтепромысловое дело», 2004, №8, С.33- Толпаев В.А., Петухов А.А., Захаров В.В. Математические модели работы скважинных фильтров //Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2004, №3, С.45- Петухов А.А., Толпаев В.А. Уточнение формулы для дебита каркасностержневого фильтра //Материалы Пятой межрегиональной научной конференции «Студенческая наука – экономике России». Ставрополь:

СевКавГТУ, 2005. Том первый. Часть первая. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. С.18- Толпаев В.А., Захаров В.В., Петухов А.А. Качественная теория работы скважины с глинисто-песчаной пробкой //Первая международная месторождений на завершающей стадии их разработки и эксплуатации ПХГ», НТЖ «Нефтепромысловое дело», 2005, №11, С.39- Толпаев В.А., Захаров В.В., Петухов А.А. Вычислительный эксперимент по исследованию зависимости дебита скважины от её длины //Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета, 2005, №4, С.89- Толпаев В.А., Петухов А.А. Математическое моделирование течения жидкости к каркасно-стержневому фильтру методом особых точек //Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.

Ростов-на-Дону, 2006, №1, С.45- Толпаев В.А., Петухов А.А., Сидоренко С.А. Расчёт дебита вертикальнощелевого фильтра с малой скважностью //Вторая международная научно-техническая конференция «Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании», 24-28 апреля 2006г., г. Ставрополь. – Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. С.197–202.

10) Толпаев В.А., Петухов А.А., Сидоренко С.А. Математическая модель линейной фильтрации к вертикально-щелевому фильтру с малой скважностью //НТЖ «Нефтепромысловое дело». – 2006. – №8. –