0-734464
На правах рукописи
Онегова Ольга Васильевна
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ И
КРАЕВОЙ ЗАДАЧ ДЛЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ИХ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
05.13.18 -- математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
ЕКАТЕРИНБУРГ -2002
Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Уральского государственного университета им. A.M. Горького.
Научный руководитель: — доктор физико-математических наук, доцент Пименов В.Г.
Официальные оппоненты: — доктор физико-математических наук, профессор Ю.Ф. Долгий;
— кандидат физико-математических нал доцент А.Ю. Вдовин.
Ведущая организация — Московский авиационный институт (государственный технический университет).
Защита диссертации состоится &•$ " ^^ 2002 г. в~1_ ч.^г? м. на заседании диссертационного Совета К 212.286.01 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете им. А.М.Горького по адресу:
620063, г.Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн.248.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького Автореферат разослан '>&^ 2002 года.
''
Ученый секретарь диссертационного Совета Пименов В.Г.
доктор физ.-мат. наук, доцент 0-
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
Многие свойства реальных объектов определяются эффектом последействия, состоящего в том, что дальнейшее состояние объекта зависит не только от настоящего, но и от прошлого, т.е. от его предыстории. Кроме того, многие задачи вообще теряют смысл, если не рассматривается зависимость от прошлого. Моделировать такие процессы позволяют функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ), называемые также уравнениями с запаздыванием или уравнениями с последействием.
Системы с последействием получили значительные приложения в таких областях, как, например, механика и техника, биология, мед^цина, экономика. Так, в механике модели с последействием используются для описания напряженно-деформированного состояния ряда материалов. Иным кругом задач, в которых применяются такие уравнения, являются задачи управления механическими объектами при помощи регуляторов, зависящих от всей предшествующей траектории. В биологических системах эволюция связана с такими длительными процессами, как размножение, развитие или вымирание, поэтому существенно зависит от предыстории.
Возникновение подобных систем, связанных с эффектом последействия, потребовало развития соответствующей теории, которая активно развивалась такими математиками как Н.В. Азбелев, Г.А. Каменский, В.Б. Колмановский, Н.Н. Красовский, А.В. Кряжимский, А.Б. Куржанский, Г.И. Марчук, А.Д. Мышкис, В.Р. Носов, С.Б. Норкин, Ю.С. Осипов, Л.С. Понтрягин, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Т. Baker, Н.Т.
Banks, R. Bellman, K.L. Cooke, R.D. Driver, J.K. Hale, V. Lakshmikantam, V. Volterra и многими другими.
Полученные в этой области фундаментальные результаты сформировали качественную теорию дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вместе с тем, точное решение подобных систем аналитическими методами удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительными средствами является особенно актуальной.
Для получения численного решения уравнений с последействием существуют различные методы. Прежде всего, дифференциальные уравнения с постоянным запаздыванием могут быть сведены к обыкновенному дифференциальному уравнению методом шагов.
Во многих работах для получения решения существенно используется структура конкретного уравнения, см. обзоры 2. В теоретическом плане очень эффективен функциональный подход 3. Для практической разработки численных алгоритмов хорошо себя зарекомендовала методика, основанная на идеях разделения конечномерной и бесконечномерной фазовых составляющих, интерполяции с заданными свойствами и использовании специальной техники (г-гладкого анализа) вычисления производных функционала правой части ФДУ, предложенных в работах 4. Эта методика позволяет создавать численные методы, являющиеся полными аналогами методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
В данной работе рассматриваются способы решения начальных и краевых задач для ФДУ, полученные на базе данного подхода. Разработанные методы реализованы в виде пакета прикладных программ, который позволяет решать широкий класс задач моделирования систем с запаздыванием. В частности, в диссертации рассматриваются задача исследования колебаний токоприемника движущегося локомотива и задача управления регулятором гирорамы с запаздыванием.
По сравнению с другими разделами теории функционально-дифференциальных уравнений, теория краевых задач для этих уравнений (особенно численных методов) в настоящее время еще не достигла своего завершения, за исключением теории линейных краевых задач второго порядка. Краевые задачи для ФДУ возникают, например, при исследовании вариационных задач и задач оптимального управления систем с последействием, а также ряда других прикладных задач. В данном исследовании Эльсголъц Л.Э, Норкип С.В. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. Наука. 1971. 296 с.
Холл Д., УаттД. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир. 1979. 312 с., Bellen A. Constrained mesh methods for functional differential equations // International Series of Numerical Mathematics, Verlag, Basel. 1985. P. 52 70., Baker C.T.H., Paul C.A.H.
and Wulb D.R. Issues in the numerical solution of evolutionary delay differential equations // Advances in Coinput. Math. 1995. V. 3. P. 171 196.
Красовск'ий H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. Гостехиздат. 1959. 211 с., Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984. 421 с.
Kirn A.V., Pimenov V.G, Numerical methods for time-delay systems oil the basis of i-smooth anatysis // Proc. of the 15th World Congr. on Sclent. Computation, Modelling and Applied Mathematics. Berlin, August 1997. V. 1: Computational Mathematics. P. 193 - 196, Ким А.В., Пименов В.Г. О применении i-гладкого анализа к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1998. Т.5. С. 104 126, Пименов В.Г. Функциональнодифференциальные уравнения: численные методы. Екатеринбург. Из-во Урал, ун-та. 1998. 80 с.
''Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Линей] уравнений. М.: МАИ. 1992, 192 с.
предлагаются численные алгоритмы решения нелинейной краевой задачи для ФДУ второго порядка, основанные на идее разделения конечномерной и бесконечномерной составляющей. Рассматриваются также численные методы решения краевых задач для линейной системы ФДУ.
Цель работы.
Основная цель данной работы состояла в разработке методов численного решения начальной и краевой задач для систем функциональнодифференциальных уравнений.
Требовалось построить и исследовать методы типа Рунге-Кутты для начальной задачи, разработать схемы численного решения систем ФДУ с автоматическим выбором шага и реализовать данные алгоритмы в виде пакета прикладных программ. Следующей целью являлось тестирование полученных схем на тестовых и модельных примерах.
Для решения краевой задачи систем с запаздыванием было необходимо разработать методы, являющиеся аналогами метода прогонки и метода стрельбы, исследовать условия сходимости полученных численных схем. Требовалось также получить алгоритмы для решения краевой задачи в случае систем линейных ФДУ.
Методы исследования.
Методы исследования существенно опираются на теорию численных методов решения дифференциальных уравнений. Используются также понятия и методы теории функционально-дифференциальных уравнений, функционального анализа и численного анализа.
Научная новизна.
Все существенные результаты работы являются новыми. Отметим основные из них.
В диссертации рассмотрены некоторые способы решения начальной задачи для ФДУ, основанные на идее разделения конечномерной и бесконечномерной составляющей фазового вектора. Разработанные методы реализованы в виде пакета прикладных программ, который позволяет решать широкий класс задач моделирования систем с запаздыванием.
Для решения краевой задачи для систем с запаздыванием предложен метод прогонки и его модификация, изучен вопрос сходимости данных методов. Представлена методика решения краевой задачи для ФДУ на основе метода стрельбы.
Для численного решения краевой задачи линейных систем ФДУ рассмотрен метод суперпозиции, в том числе с ортогонализацией, выписаны формулы численного решения в случае систем с постоянными коэффициентами.
Теоретическая и практическая ценность.
Результаты диссертации могут быть применены для дальнейшей разработки численных методов решения ФДУ и исследования их свойств. С помощью предложенных в работе алгоритмов и созданного на их основе программного обеспечения (пакет программ TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX) могут быть численно изучены многие задачи моделирования реальных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием, а также могут быть решены задачи управления и стабилизации таких объектов. Сконструированные численные схемы для решения краевых задач могут быть положены в основу пакета прикладных программ.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских конференциях "Алгоритмический анализ некорректных задач" (Екатеринбург - 1998 и Екатеринбург - 2001);
Международных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск - 1999, Челябинск - 2002), "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара - 2002);
Международных конгрессах " Нелинейный динамический анализ" (Москва - 2002), "The Third European Congress of Mathematics" (Barcelona на других Российских и международных конференциях, на научных семинарах в Уральском государственного университете и в Институте математики и механики УрО РАН.
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1-12]. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные автором.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 158 наименований. В работе приведено 30 рисунков. Общий объем диссертации 103 страницы.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В главе 1 представлены алгоритмы численного решения начальной задачи для уравнений с последействием. Рассматривается система функционально-дифференциальных уравнений с начальными условиями Здесь переменная t, называемая временем, принадлежит отрезку Т = [to, to + 9], вый вектор, где R - /-мерное Евклидово пространство со скалярным произведением (-,-} и нормой [to, to + в] х R x Q[-r, 0) -> -R', где Q[-r, 0) - пространство /-мерных кусочно-непрерывных функций у(-) (непрерывных справа в точках разрыва) с нормой ||у(-)||31"(*) (23) с отклоненными начальными данными Данная система ФДУ была численно реализована при конкретных параметрах конструкции. В работе получены вид оптимального управления и значение функционала качества при выбранном управлении.Глава 3 посвящена численным алгоритмам решения краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка.
Рассматривается уравнение с краевыми условиями с краевыми условиями где, величины запаздывания Tj(t) непрерывные на [а, 6] функции, удовлетворяющие ограничениям для всех j = 0,...,m; A j ( t ) при j = О,...,тл интегрируемы на [о,ft]; A(t,s) измерима на интегрируема на [a, ft].
Заданы также функциональные начальные условия Согласно принципу суперпозиции, решение данной задачи можно искать в виде где с е Я", z ( t ) - решение задачи неоднородной задачи (47) с функциональными условиями (50) и начальными условиями a Z(t) - фундаментальная система решений однородной задачи, соответствующей (47), нормированная в точке а.
Функции z(i) и Z(t) можно находить численно, решая начальную задачу, например, с помощью пакета TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX или другими алгоритмами.
Коэффициенты вектора с определяются из системы Данный метод не всегда применим, поскольку система для нахождения коэффициентов с$ может оказаться плохо обусловленной. Применяемые в обыкновенных дифференциальных уравнениях методы преодоления этой проблемы в большинстве сводятся к численному интегрированию в обратном времени 8 и для функционально-дифференциальных уравнений не приемлемы.
В разделе 4.2 предлагается метод ортогонализации, позволяющий решить эту проблему.
Бахвалов Н. С. Численные методы. М. Наука. 1973. 632 с., Холл Д., УаттД. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир. 1979. 312 с., Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения.
Минск: Наука и техника, 1982. 287 с.
Выберем некоторый критерий "достаточной ортогональности", например где а достаточно мало.
Если в некоторой точке неравенство (55) нарушается, то матрица Z ( i ) ортонормируется.
Для нахождения Z* можно применить известную процедуру ГраммаШмидта или QR-алгоритм, разлагающий матрицу в произведение двух множителей, один из которых имеет ортономированные столбцы, а другой - верхняя треугольная матрица. Для нахождения столбца w доказывается лемма: если где < -, • > скалярное произведение в евклидовом пространстве Rn, На отрезке [, Ь] строится в виде комбинации Здесь z(t) удовлетворяет исходному уравнению с начальными условиями а столбцы матрицы Z(t) удовлетворяют однородной системе с нулевыми функциональными условиями и начальными условиями Теорема 4.1. Если система (61)-(63) разрешима, то решение исходной задачи определяется формулой Conte S.D. The numerical solution of linear boimary value problems. Siam Review, vol.8, 3,1966, p.309- В разделе 4.3 выписаны явные выражения для нахождения с и с1 в случае системы с постоянными запаздываниями на основе аналога формулы Коши для функционально-дифференциальных уравнений 10.
Описанные в главе 4 методы были реализованы в виде программ, с помощью которых были решены тестовые примеры.
В разделе 4.4 приведены результаты численных экспериментов. Приводится краевая задача для уравнения четвертого порядка, когда метод суперпозиции не приводит к достаточно точному решению. Данная задача решена методом ортогонализации.
Рассмотрена краевая задача для системы ФДУ с переменными коэффициентами, для решения которой используется метод ортогонализации.
Приводится пример краевой задачи для системы четвертого порядка с сосредоточенным и распределенным запаздыванием. Для данного тестового примера применим метод суперпозиции.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
[1] Гребенщиков Б.Г., Онегова О.В. Асимптотические методы в исследованиях свойств устойчивости систем с линейным запаздыванием // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной конференции. Челябинск. МГУ. 22 - 26 июня 1999. С. 36.[2] Гребенщиков В.Г., Опегова О.В. Исследование колебаний токоприемника движущегося локомотива при взаимодействии с контактным проводом в непосредственной близости от опоры // Изв. Урал. гос. ун-та.
2000. 18. (Математика и механика. Вып.З.) С.53-66.
[3] Ким А.В., Кучина Е.П., Онегова О.В., Пименов В.Г., Прохоров В. В. Пакеты программ для решения функционально-дифференциальных уравнений // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К.
Иванова. 2-6 февраля 1998. Екатеринбург. С. 119-120.
[4] Онегова О. В. Некоторые методы численного решения краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений. // Изв. Урал, гос. ун-та. 2002. 22. (Математика и механика. Вып.4.) С.89-103.
[5] Онегова О.В. Численные методы с автоматическим выбором шага для функционально-дифференциальных уравнений и их приложения. // Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов 30-й Региональной молодежной конференции. 1999.
Kolmanovskii V.B., Myfthkis A.D. Applied theory of functional differential equations. Dordrecht - Boston - London. Kluwer Academic Pub. 1992. 236 p.
[6] Онегова О. В. Численное решение нелинейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений. // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тезисы докладов международной научной конференции. 4-8 февраля 2002 г. Челябинск:
Челяб.гос.ун-т. 2002. С. [7] Пименов В.Г., Онегова О.В. О применении численных методов к решению задач управления системам с запаздыванием // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2001.
[8] Пименов В.Г., Онегова О.В. Метод ортогонализации решения краевых задач для линейных систем ФДУ // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды двенадцатой межвузовской конференции. Самара. 2002. С.106-109.
[9] Пименов В.Г., Онегова О.В. Численное решение нелинейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений // Нелинейный динамический анализ. Второй международный конгресс Тезисы докладов. М.: Изд-во МАИ. 2002. С.194.
[10] Han S.H., Kim A.V., Kwon W.H., Lozhmkov А.В., Onegova O.V, Pimenov V.G. Time-Delay System Toolbox // The Third European Congress of Mathematics. Barcelona. Yuly 10 - 14. 2000. P. 116.
[11] Kwon W.H., Kim A.V., Pimenov V.G., Han S.H., Lozhmkov А.В., Onegova 0. V. Time-Delay System Toolbox and its Applications // Proc. of Korean Automatic Control Conference. Pusan. October 1998. P. 147 - 150.
[12] Kwon W.H., Kim A.V., Pimenov V.G., Lozhnikov А.В., Han S.H., Onegova O.V. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). Beta Version. Seoul National University. Seoul. Korea. 1998. P. 114.
Подписано в печать 19.11.02. Формат 60x84/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Заказ 323. Тираж 100.