На правах рукописи

Миненков Дмитрий Сергеевич

БЫСТРОМЕНЯЮЩИЕСЯ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

Специальность 01.01.03 – Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2014

Работа выполнена в лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Сергей Юрьевич Доброхотов

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Леонид Анатольевич Калякин доктор физико-математических наук, профессор Владимир Григорьевич Данилов

Ведущая организация Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 20 февраля 2014 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан “....”................. 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002. доктор физико-математических наук профессор П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования. Асимптотические методы широко используются при решении различных задач. Потребность в них возникает, во-первых, когда точное решение задачи неизвестно, и во-вторых, когда с известным точным решением по тем или иным причинам трудно работать, и возникает потребность в простых для приложений асимптотических формулах.

С появлением и развитием таких программных пакетов, как Mathematica, MathLab и им подобные, возникла возможность компьютерной реализации быстрых аналитико-численных алгоритмов для моделирования волновых процессов, что позволяет анализировать зависимость решения от параметров в режиме “онлайн”. Однако, существующие формулы для асимптотических решений не всегда подходят для подобных целей, и есть потребность в модификации существующих и получении новых формул для асимптотических решений.

Целью работы является построение однофазных асимптотических решений в форме анзаца Кузмака-Уизема для задачи Коши для ангармонического осциллятора, нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза, причем окончательный ответ ищется в виде, который является равномерным относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному” (не зависит от величины начальных данных). Кроме того строятся асимптотические решения для одномерной нелинейной системы мелкой воды с вырождающейся скоростью общего вида вблизи точки вырождения (соответствующей берегу). Построенные асимптотические решения эффективно реализуются на компьютере.

Общая методика исследования основана на сочетании адиабатического и квазиклассического приближений, методов осреднения и теории возмущений.

Научная новизна определяется следующими основными результатами:

1. Для задачи Коши для уравнения ангармонического осциллятора с малым неконсервативным членом построено однофазовое формальное асимптотическое решение. Доказано, что фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи на систему уравнений, из которых определяется эволюция фазы и переменных типа действия, с соответствующим образом подобранными начальными условиями; Доказана равномерность полученного представления относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”.

2. Построены однофазовые (формальные) асимптотические решения для нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза, которые являются регулярными относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”; Доказано, что для этих уравнений фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи для системы уравнений Уизема с соответствующим образом подобранными начальными условиями;

3. Для нелинейной системы мелкой воды в одномерном случае с вырождающейся скоростью получены (формальные) асимптотические решения вблизи точки вырождения и предложена замена переменных, которая переводит эту систему в нелинейную с малой нелинейностью.

4. Получено представление в виде точечных преобразований для преобразований, связывающих три одномерные системы: уравнений мелкой воды на ровном дне, на дне постоянного уклона и линеаризованных уравнений мелкой воды. С помощью этих преобразований исследовано решение в виде бегущей волны с переменной скоростью для уравнений мелкой воды на дне постоянного уклона и соответствующее решение для уравнений мелкой воды на ровном Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Асимптотические методы решения задач математической физики сами по себе представляют теоретический интерес. Асимптотические решения часто объясняют ключевые свойства точных решений, получаемых численно или экспериментально. Рассматриваемые задачи описывают несколько практически важных явлений, например, поведение жидкости в каналах или динамику волн цунами. Полученное представление, равномерное относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”, позволяет описывать динамику цуга волн, когда на хвосте цуга амплитуда решения небольшая и ситуация “слабонелинейная”, а у пика – “сильнонелинейная”.

Личное участие автора. Задача построения асимптотических решений одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды с вырождающейся скоростью изучена автором самостоятельно. Некоторые результаты получены совместно с научным руководителем С.Ю. Доброхотовым (Институт Проблем Механики РАН, Московский Физико-Технический Институт) и С.Б. Медведевым (Институт вычислительных технологий СО РАН, Московский государственный университет). Здесь вклад автора заключается в проведении конкретных вычислений и доказательств, а также в реализации полученных асимптотических формул на компьютере.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на Международных конференциях “Дни дифракции” (в 2010-2012 годах, СанктПетербург), на международной конференции “Mathematical analysis of Asymptotic and Applications” (в 2010 году, IIMAS, UNAM, Mexico City, Mexico), на научной конференции МФТИ (2012, Москва), на международной конференции “Нелинейный анализ и спектральные задачи” (2013, Уфа) и на международной конференции “Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений”, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (2013, Новосибирск). Также результаты били представлены и обсуждались на научных семинарах под руководством В.М. Бабича в ПОМИ РАН (2012, Санкт-Петербург) и под руководством Л.А. Калякина в Институте Математики с ВЦ УНЦ РАН (2013, Уфа).

Публикации. Основное содержание работы

отражено в четырех публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Работы опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий и журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени киндидата и доктора наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав и списка литературы. Материал диссертации изложен на 105 страницах. Список литературы содержит 68 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются задачи и основные результаты работы.

Фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема В первой главе проводится обзор методов осреднения, разработанных Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, Ю. А. Митропольским и другими, и приводятся результаты, связанные с процедурой определения фазового сдвига в анзаце Кузмака-Уизема при построении быстроосциллирующих асимптотических решений в нелинейных уравнениях.

Согласно стандартной схеме, примененной Г. Е. Кузмаком (в 1959) для обыкновенных дифференциальных уравнений и Г. Б. Уиземом (1965) для уравнений в частных производных, главный член асимптотического разложения определяется из нелинейного уравнения, а поправки к нему из линейных уравнений. Главный член разложения может быть представлен в форме X( S(t)+(t), I(t), t), где фаза S, “медленно меняющийся” параметр или параметры I и так называемый фазовый сдвиг определяются из системы “осредненных” уравнений – условий совместности уравнений для поправок. Вопрос о вычислении фазового сдвига возник давно и обсуждался для уравнений в частных производных С. Ю. Доброхотовым и В. П. Масловым (1981), а также Р. Хаберманом (1988). Для обыкновенных дифференциальных уравнений этот вопрос обсуждался в работах Р. Хабермана и соавторов.

Основная сложность при определении фазового сдвига состоит в том, что в “сильнонелинейном” случае для вычисления фазового сдвига достаточно рассмотреть уравнение на первую поправку к главному члену разложения, а в линейном и “слабонелинейном” случае необходимо также исследовать уравнение для второй поправки и для этого необходимо определить первую поправку, что является нетривиальной задачей. Это препятствие имеет топологический характер: при переходе от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному” размерность коядра соответствующего линейного оператора в вариациях уменьшается на 1. Практический результат, основанный на идеях работ С. Ю. Доброхотова и В. П. Маслова, и работ Р. Хабермана, заключается в том, что можно учесть фазовый сдвиг, если рассмотреть его как часть фазы S, и при этом соответствующим образом изменить начальные данные для уравнения на I. Построенные представления для главного члена асимптотического разложения являются инвариантными относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”. Это позволяет, например, описывать динамику цуга волн, когда на хвосте цуга ситуация “слабонелинейная”, а у пика – “сильнонелинейная”.

В пункте 1.1 первой главы рассматривается одномерный нелинейный осциллятор с потенциалом V (x, ), медленно зависящим от времени, и малым неконсервативным членом g(x, x, ), описывающим трение или (и) “накачку”, где – малый параметр. Соответствующий математический объект – задача Коши для неизвестного положения x(, ) и скорости (момента) p(, ) = x = dx :

Здесь f = Vx V (x, t), V (x, t), g – гладкие функции, g(p, x, ) – нечетная функция p. Обычно переменную называют “быстрым” временем в противоположность “медленному” времени t =.1 Задачу (0.1), (0.2) можно переписать, используя медленное время t, тогда она примет форму так называемой сингулярно возмущенной задачи:

Мы предполагаем, что по крайней мере локально, потенциал V имеет форму потенциальной ямы на интервале (xl, xr ) с минимумом в точке x = xmin (xl, xr ).

Потенциал V, функция f так же как и начальные значения x0, p0 могут зависеть регулярным образом от некоторого действительного параметра (или параметров) µ [0, µ0 ], например, можно рассмотреть потенциал V = (t)x2 /2 + µV 1 (x, t), V 1 (x, t) = O(x3 ). Параметр µ может быть связан с параметром, в простейшем случае µ =. Обычно, ситуацию, когда V = (t)x2 /2 + V 1 (x, t), называют слабонелинейным случаем в противоположность сильнонелинейному случаю, когда d V |=0 = 0. Хорошим примером слабонелинейного случая служит осцилятор Ван-дер-Поля: x + x x (1 x2 ) = 0. В качестве примера сильнонелинейного случая мы рассмотрим задачу Коши для физического маятника с медленноменяющейся частотой (t) и нелинейным неконсервативным членом, описывающим трение при (t) < 0 и накачку при (t) > 0: x + 2 (t) sin x (t) x cos x = 0.

Упомянутое разделение на “слабо-” и “сильнонелинейные” случаи является несколько искусственным и зависит от начальных условий x0, p0. Действительно, предполагая, что V = (t) x + x + O(x6 ) и x0 = 0, p0 = 0, после замены переменных x =, p = мы получим слабонелинейное уравнение с V = (t) x + (t) x + O(2 ). Для упрощения обозначений, мы не будем включать параметр µ в V, g, x0, p0 и другие функции и параметры, но будем держать в уме такую возможность.

Понятно, что обычно точное решение задачи Коши (0.1), (0.2) неизвестно, и можно говорить только об асимптотическом решении при 1. Интересно, что В классической теории осреднения обычно принято обозначать “быстрое” и “медленное” время соответственно через t и. Здесь же мы приняли другие обозначения, а именно те, которые используются в следующем разделе в случае уравнений в частных производных.

Рис. 1: The potential V (x, t) and E for various t: t = 0.1, t = 0.2 (left). The example of a fast oscillating solution (right).

построение таких асимптотик возможно на больших временах, по крайней мере. В переменных медленного времени t = “большие времена” означают t [0, O(1)], и желаемые решения являются быстроосциллирующими (см. рис. 1).

В теории нелинейных колебаний существуют различные асимптотические методы, которые обычно называются методами осреднения. Существует большое число статей и монографий, посвященных методам осреднения, подробную библиографию можно найти в книгах В. И. Арнольда, В. В. Козлова и А. И. Нейштадта, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, J. D. Cole, J. Kevorkian. Несмотря на то, что методы осреднения основаны на похожих идеях, их реализация различается.

Можно условно разбить их на две группы: методы, связанные с “заменой переменных” и методы “прямого расчета”. Так метод Крылова-Боголюбова, теория КАМ и им подобные попадут в первую группу, а так называемый метод Кузмака и его обобщение на случай уравнений в частных производных – метод Уизема или нелинейный метод ВКБ следует отнести ко второй группе.

Заметим, что задачи, рассматриваемые в первой главе относятся к так называемым сингулярно возмущенным, которые допускают асимптотики с составляющей типа пограничного слоя. Исследованию последних посвящены, в частности, работы В. Ф. Бутузова, А. Б. Васильевой, М. И. Вишика, С. А. Ломова, Л. А. Люстерника, Н. Н. Нефедова, А. Н. Тихонова, и других. В отличие от таких асимптотик, в диссертации рассматриваются асимптотики, имеющие быстрые осцилляции.

Задача (0.1), (0.2) решена в статье F. J. Bourland and R. Haberman2 (см. также книгу J. D. Cole, J. Kevorkian и статью А. М. Ильина3 ), посредством метода Кузмака-Уизема, с использованием некоторых идей, предложенных в работе С.Ю. Доброхотова и В. П. Маслова4. Окончательный ответ представлен в двух разных формах: для слабонелинейного случая и для сильнонелинейного случая (при этом нет перехода от одного к другому). Основной результат данной главы – единая асимптотическая формула, работающая в обоих случаях. В этом разделе сформуF. J. Bourland and R. Haberman, SIAM J. Appl. Math., 48, 1988, pp.737- А. М. Ильин, ТМФ, 118:3, 1999, 383- С.Ю. Доброхотов, В. П. Маслов, Итоги науки и техники. ВИНИТИ, т. 15, лирована и доказана следующая теорема [1]:

Пусть существуют положительные числа a, b, t0, такие что для I [a, b], t [0, t0 ]:

(i1 ) вектор-функция (X(, I, t), P (, I, t)) – 2-периодическая по и является решением невозмущенной системы с “замороженным” временем t:

, I – переменные “действие-угол” для невозмущенной системы:

и x± (t) – корни уравнения V (x, t) = E(I, t);

(i2 ) для t [0, t0 ] существует решение I(t, ) [a, b], (t, ) задачи Коши для “осредненных” уравнений с начальными условиями:

где 0, I 0 определяются из условий X(0, I 0, 0) = x0, P (0, I 0, 0) = p0, и поправка I1 равна Тогда для главного члена асимптотического разложения x(, ), p(, ) для задачи Коши (0.1), (0.2) на временах [0, t0 /h] справедливо следующее представление Основная цель данного раздела в том, чтобы показать, что этот (и более сильный) результат может быть доказан при помощи теоремы А. И. Нейштадта5, которая развивает группу методов “замены переменных”, а также сравнить эффективность обоих подходов: методов “замены переменных” и методов “прямого счета”.

По нашему мнению, методы осреднения, связанные с заменой переменных, лучше подходят для рассмотренной задачи Коши (0.1), (0.2), а привлекательность метода Кузмака-Уизема (или нелинейного метода ВКБ) состоит в том, что он естественным образом обобщается на случай уравнений в частных производных.

В пункте 1.2 первой главы рассмотрены однофазовые (формальные) асимптотические решения в форме Кузмака-Уизема для нелинейного уравнения КлейнаГордона и уравнения Кортевега-де-Фриза. В этом случае главный член асимптотического решения также ищется в форме анзаца Кузмака-Уизема X(S(x, t)/ + (x, t)), I(x, t), x, t) + O(), где 1 – малый параметр, фаза S(x, t) и медленно меняющиеся параметры I(x, t) находятся из системы “осредненных” уравнений Уизема. Вообще говоря, уравнение для фазового сдвига (x, t) получается из исследования второй поправки к главному члену. При этом соответствующая процедура нахождения фазового сдвига неравномерна относительно перехода к линейному (и слабонелинейному) случаю.

Здесь представлены результаты [2], где показано, как, подправляя на O() подходящим образом решения уравнений Уизема (мало изменяя начальные условия для них), можно добиться зануления фазового сдвига в анзаце Кузмака-Уизема для главного члена. Тем самым эволюция главного члена полностью определяется решениями уравнений Уизема.

Именно, сформулированы и доказаны следующие теоремы. Рассмотрим задачу Коши для нелинейного уравнения Клейна-Гордона:

где V (u, x, t), c(x, t), u0 (x) и v 0 (x) R – гладкие функции; t R, x Rn, 0 < 1 – малый параметр. От функции V (u, x, t) потребуем выполнения условия, обеспечивающего существование у уравнения (0.4) быстроосциллирующих вещественнозначных асимптотических решений: пусть существуют гладкие функции a(x, t) < b(x, t), такие что при каждых фиксированных x, t на интерА. И. Нейштадт, ПММ, 48:2, 1984, 197– вале a < E < b уравнение V (u, x, t) = E имеет по крайней мере два решения umin (x, t, E), umax (x, t, E), umin < umax, гладко зависящих от x, t, E и таких, что Vu (umin, x, t) = 0, Vu (umax, x, t) = 0 и V (u, x, t) < E при umin < u < umax.

Теорема 2 Пусть существует положительное число t0 и гладкие функции a(x, t) < b(x, t), такие что для t [0, t0 ], I(x, t) [a(x, t), b(x, t)] выполнены условия:

(i1 ) Существует 2-периодичное по переменной решение X(, x, t) = X(, I(x, t), x, t) уравнения нулевого приближения 2 (x, t)X + Vu (X, x, t) = 0.

Это решение задается неявной формулой где для параметризации использована переменная типа действия: I(x, t) = 1 umax umin (i2 ) Существует решение S(x, t, ), I(x, t, ) задачи Коши для системы Уизема:

(где операторы дифференцирования во втором уравнении действуют также на функцию I(x, t, )), удовлетворяющее начальным условиям:

где поправка I1 (x) определяется формулой Тогда главный член асимптотического разложения для решения исходной задачи Коши (0.4), (0.5) на временах t [0, t0 ] определяется формулой с “нулевым фазовым сдвигом”:

Рассмотрим теперь уравнение Кортевега-де-Фриза где 0 < 1 – как и раньше, малый параметр. Некоторые формальные асимптотические решения этого уравнения представляются в виде анзаца Кузмака-Уизема.

Дифференциальное уравнение, из которого определяется главный член асимптотического разложения X(, x, t), в этом случае имеет вид:

где K(x, t) Sx (x, t), (x, t) St (x, t) – волновое число и частота. Здесь также – периодическая переменная, x, t – “замороженные” переменные. Для параметризации функция X(, x, t) удобно использовать корни E0, E1, E2 многочлеx,t) на R2 (z, x, t) = z 3 2K(x,t) z 2 + A1 (x, t)z + A2 (x, t) = (z E0 )(z E1 )(z E2 ) (см. работы G. B. Whitham (1965), Н. И. Ахиезера (1970), В. Б. Матвеева (1976), А. В. Гуревича и Л. П. Питаевского (1971), Б. А. Дубровина, В. Б. Матвеева и С. П. Новикова (1976), А. Р. Итса и В. Б. Матвеева (1976), H. Flaschka, M. Forest, D. McLaughlin (1980), С. Ю. Доброхотова и В. П. Маслова (1980), И. М. Кричевера (1988), R. Haberman (1988) и других). Формула для функции X(, E) найдена в работе А. Р. Итса и В. Б. Матвеева6, ее можно представить в терминах -функции Якоби, как в вышеуказанной статье С. Ю. Доброхотова и В. П. Маслова. Система уравнений Уизема при параметризации через концы зон E0, E1, E2 получена в работе H. Flaschka, M. Forest и D. McLaughlin7 :

(Формулы для коэффициентов l (E) приведены в тексте диссертации.) Волновое число K и частота выражаются через концы зон, после чего фаза находится интегрированием уравнения dS = (x, t)dt + k(x, t)dx. Чтобы получить уравнение на фазовый сдвиг, необходимо исследовать уравнение второго приближения.

В Теореме 3 рассматривается задача Коши для уравнения Кортевега-де-Фриза с начальными условиями из того же класса, что и строящиеся асимптотики. Показано, что, так же как и в случае волнового уравнения, уравнение на фазовый сдвиг можно не решать, если включить его в фазу S(x, t, ) = S(x, t) + (x, t) и одновременно скорректировать концы зон E(x, t, ) = E(x, t) + E(x, t). Приведены формулы для поправок E 0 = E|t=0 к начальным условиям для концов зон.

Полученное представление для главного члена асимптотического разложения (Теоремы 1, 2 и 3) является равномерным относительно перехода к “слабонелинейному” случаю, и поэтому его можно использовать для расчета динамиА. Р. Итс, В. Б. Матвеев, в сб. Пробл. мат. физ. № 8, Л., Ленингр. ун-т, 1976, 70— H. Flaschka, M. Forest и D. McLaughlin, Comm. Pure. Appl. Math 33 (1980), pp. 739– ки волнового пакета. Хотя этот факт установлен для двух уравнений в частных производных, тем не менее, как надеется автор, то же имеет место и для других нелинейных уравнений. Хотя, конечно, этот факт требует доказательства, и в первую очередь его стоит проверить для асимптотик уравнений, интегрируемых методом обратной задачи (см. работы И. М. Кричевера), и уравнений Навье-Стокса (см. работы В. П. Маслова).

Системы уравнений мелкой воды Во второй главе рассматривается система нелинейных уравнений для волн на воде в приближении мелкой воды. Одномерные уравнения мелкой воды являются одной из простейших моделей распространения жидкости в каналах (см. книгу J. J. Stoker, 1958). Кроме того, эти уравнения могут быть использованы для исследования цунами (см. работы Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой). В случае ровного дна уравнения могут быть сведены к линейным уравнения с помощью преобразования годографа (см. книгу R. Courant, 1962). При постоянном наклоне дна уравнения также могут быть сведены к линейным уравнениям с помощью преобразования годографа, после приведения их к римановым инвариантам. Однако, возможны дальнейшие преобразования зависимых и независимых переменных, которые позволяют выразить параметрически решения исходных уравнений через два параметра и функцию от них (см. статью G. F. Carrier, H. P. Greenspan, 19588 ).

При этом функция является решением линейного волнового уравнения. Преимущество такого представления состоит, во-первых, в том, что решение нелинейной системы первого порядка сводится к решению линейного волнового уравнения, вовторых, подвижная точка уреза (точка, в которой глубина жидкости равна нулю) переходит в нулевую точку для линейного уравнения.

Хотя рассматриваемая система является бездисперсионной, но вопрос о фазовом сдвиге все равно возникает. Для уравнений мелкой воды фазовый сдвиг связан со скачком индекса Маслова при прохождении особой точки специального типа, в которой вырождается скорость распространения волны. Это объясняет известную метаморфозу профиля волны, которая описывается преобразованием Гильберта и состоит например в том, что “размазанное” -образное решение переходит в так называемую N-волну. В целом оказывается, что решение системы мелкой воды другого типа, чем рассматриваемые в Главе 1, и никаких новых эффектов, связанных с фазовым сдвигом, нелинейность не дает.

В пункте 2.1 второй главы приведены точечные преобразования, связывающие три системы уравнений первого порядка [4]: уравнения мелкой воды над ровным дном D(z) = G. F. Carrier, H. P. Greenspan, J. Fluid Mech., 4, 1958, 97– уравнения мелкой воды над дном постоянного уклона D(x) = c2 (x) = x:

и линейной системы, которая получается формальной линеаризацией:

Все найденные преобразования сохраняют дивергентный вид уравнений. Также приведены преобразования, связывающие линеаризованную систему и линейное волновое уравнение, выведенное в работе G. F. Carrier, H. P. Greenspan. Кроме того, представлены формулы специального решения линеаризованной системы в виде волны, бегущей с переменной скоростью (полученного С. Ю. Доброхотовым и С. Я. Секерж-Зеньковичем), и показана связь полученного решения с решением двумерного волнового уравнения с постоянной скоростью звука.

В пункте 2.2 второй главы рассматривается система нелинейных уравнений мелкой воды в одномерном случае над неровным дном D(x) = c2 (x) (c(x) – скорость распространения волн):

для уровня свободной поверхности = (x, t) и скорости u = u(x, t) (см. например, книги J. J. Stoker и Е. Н. Пелиновского). Считаем, что точка x = 0 соответствует берегу, а именно sign(D(x)) = sign(x). Значения D(x) < 0 отвечают “отрицательной глубине”, т.е. высоте берега над уровнем водоема. Задача состоит в построении некоторых ограниченных решений рассматриваемых уравнений в области с переменной левой границей x [xmin (t), ), где xmin (t) определяется из условия D(xmin ) + (xmin, t) = 0.

Решения этой задачи в случае линейного дна, когда D(x) = 2 x изучались в работах J. J. Stoker, Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой, G. F. Carrier, H. P. Greenspan, T. Vukainac и P. Zhevandrov (2002), С. Ю. Доброхотова и Б. Тироцци (2010), приs чем, в последней получено семейство точных решений, представленных в виде алгебраических функций.

Мы будем рассматривать дно в виде D(x) = 2 xf (x), f (0) = 1, f (k) () = O(1), где характерный размер “неровностей” дна D(x) определяется малым параметром 1. Изменением масштаба (x x, t t/, 2, u u) можно сделать = 1. Решаем задачу Коши с начальным условием, удаленным от берега на расстояние порядка длины волны:

Рис. 2: Главный член N0 (z, ) для линейной системы над линейным дном (штрих) и главный член 0 (x, t) для нелинейной системы над дном D(x) = x(10.1 sin(2x)) (сплошная) в окрестности фокальной точки: для времен, t = 1, 2, 3.

Здесь V () – гладкая финитная функция supp V [1/2, 1/2], |V ()| 1, параметр характеризует амплитуду в начальный момент времени. Будем считать, что амплитуда волны в начальный момент достаточно мала по сравнению с глубиной D(1), чтобы волна дошла до берега без опрокидывания. Это достаточно часто бывает для волн цунами (как показано в работах Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой).

Основной результат заключается в следующем (см. [3]). Вблизи берега существует замена переменных (x, t) (z, ), ((x, t), u(x, t)) (N (z, ), U (z, )), которая сведет исходную задачу к задаче Коши для нелинейной системы, представляющей собой слабовозмущенную линейную систему:

Указанная замена переменных строится как композиция двух замен. Сначала проводится замена переменных для “выравнивания дна”, которая переводит исходную систему в систему мелкой воды с дном постоянного уклона и с малой правой частью. К полученной системе применяются формулы линеаризации методом Кариера-Гринспена (см. также книгу Е. Н. Пелиновского) в форме, представленной в статье С. Ю. Доброхотова и Б. Тироцци9 :

Преобразование Кариера-Гринспена переводит задачу с переменным левым пределом ymin : ymin + q = 0 в задачу (0.9), (0.10) с постоянной левой границей zmin = 0, поскольку. Для этой задачи получено (формальное) асимптотическое решение методом регулярной теории возмущений.

Главный член асимптотики и поправки определяются из системы неоднородС. Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, УМН, 65:1(391), 2010, 185– ных линейных уравнений со скоростью c = z (с дном постоянного уклона D = 2 z). Для корректной постановки задачи Коши для системы линейных уравнений, необходимо наложить дополнительное условие на поведение решения при x 0, поскольку скорость c(x) вырождается в точке x = 0. Как было сформулировано T. Vukainac и P. Zhevandrov (2002) и доказано С. Ю. Доброхотовым, В. Е. Назайкинским и Б. Тироцци (2010), такая задача будет корректно поставлена, если потребовать c(x)x (x) L2 (R+ ), что в сущности эквивалентно тому, что энергия решения должна быть конечна. Для задачи Коши для линейной системы с локализованными начальными условиями известно точное решение в интегральной форме и достаточно эффективные асимптотические формулы для этого решения вне окрестности точки z = 0 (см. работы Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой, С. Ю. Доброхотова, В. Е. Назайкинского и Б. Тироцци10 ). Как показано С. Ю. Доброхотовым, В. Е. Назайкинским и Б. Тироцци, эта точка является фокальной точкой или точкой поворота.

В результате в пункте 2.2 главы 2 сформулирована и доказана следующая теорема (см. [3]).

Пусть скорость c(x) (дно D(x) = c(x)2 ) достаточно мало отТеорема клоняется от x (от дна постоянного уклона x), и амплитуда начальной волны достаточно мала. Пусть кроме того начальные условия лежат в пространстве Шварца на полупрямой: N 0 (z), U 0 (z) S[0, ) (N 0, U 0 C [0, ) и убывают на бесконечности быстрее любой степени).

Тогда исходная задача сводится к задаче (0.9), (0.10) с границей z = 0, для которой можно построить формальное асимптотическое решение методом реk теории возмущений виде kряда по малому параметру : N (z,, ) = нах = O(1). Обратная замена переводит его в формальное асимптотическое решение для исходной задачи (0.7), (0.8) с переменной границей xmin (t) – в классе S[xmin (t), ) по x, на временах t = O(1).

С помощью построенных асимптотических формул и точных решений специального вида для линейных уравнений мелкой воды рассмотрено отражение волны от берега в случае нелинейной системы (см. Рис. 2). Как показано, для уравнений мелкой воды фазовый сдвиг связан со скачком индекса Маслова при прохождении особой точки специального типа, в которой вырождается скорость распространения волны. Это объясняет известную метаморфозу профиля волны (обнаруженную в работе Е. Н. Пелиновского и Р. Х. Мазовой (1992)), которая описывается преобразованием Гильберта и состоит в том, что “размазанное” -образное падающее решение переходит в так называемую N-волну.

С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, Б. Тироцци, Алгебра и анализ 22 (6), 67–90 (2010)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Для задачи Коши для уравнения ангармонического осциллятора с малым неконсервативным членом построено однофазовое формальное асимптотическое решение. Доказано, что фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи на систему уравнений, из которых определяется эволюция фазы и переменных типа действия, с соответствующим образом подобранными начальными условиями; Доказана равномерность полученного представления относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”.

2. Построены однофазовые (формальные) асимптотические решения для нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза, которые являются регулярными относительно перехода от “сильнонелинейного” случая к “слабонелинейному”; Доказано, что для этих уравнений фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема определяется из задачи для системы уравнений Уизема с соответствующим образом подобранными начальными условиями;

3. Для нелинейной системы мелкой воды в одномерном случае с вырождающейся скоростью получены (формальные) асимптотические решения вблизи точки вырождения и предложена замена переменных, которая переводит эту систему в нелинейную с малой нелинейностью.

4. Получено представление в виде точечных преобразований для преобразований, связывающих три одномерные системы: уравнений мелкой воды на ровном дне, на дне постоянного уклона и линеаризованных уравнений мелкой воды. С помощью этих преобразований исследовано решение в виде бегущей волны с переменной скоростью для уравнений мелкой воды на дне постоянного уклона и соответствующее решение для уравнений мелкой воды на ровном

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. S.Yu. Dobrokhotov, D.S. Minenkov, “On Various Averaging Methods for a Nonlinear Oscillator with Slow Time-dependent Potential and a Nonconservative Perturbation”, Regular and Chaotic Dynamics, 2010, Vol. 15, No. 2-3, pp. 285-299.

2. С.Ю. Доброхотов, Д.С. Миненков, “О фазовом сдвиге в анзаце КузмакаУизема”, ТМФ, 2011, 166 (3), 350-365.

3. Д.С. Миненков, “Асимптотические решения одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды с вырождающейся скоростью”, Математические заметки, 2012, 92 (5), 721–730.

4. С.Ю. Доброхотов, С.Б. Медведев, Д.С. Миненков, “О заменах, приводящих одномерные системы уравнений мелкой воды к волновому уравнению со скоростью звука c2 = x”, Математические заметки, 2013, 93 (5), 725-736.

БЛАГОДАРНОСТИ

Я очень признателен В. Е. Назайкинскому и А. И. Шафаревичу за моральную поддержку и полезные дискуссии во время подготовки работ. Особую благодарность я выражаю научному руководителю С. Ю. Доброхотову за помощь, оказанную автору за время обучения в аспирантуре. Я также благодарен С. Б. Медведеву и С. Я. Секерж-Зеньковичу за дискуссии и ценные советы. Результаты диссертации были получены в рамках проектов РФФИ 08-01-00726 и 11-01-00973.