На правах рукописи

Махов Алексей Викторович

УДК 539.3

АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ

ТЕЛ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В

ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., с.н.с.

А.А. Светашков Томск –

Работа выполнена в Томском политехническом университете на кафедре теоретической и прикладной механики машиностроительного факультета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Светашков Александр Андреевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор Хорев Иван Ефимович доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Барашков Владимир Николаевич

Ведущая организация Институт архитектуры и строительства ФГОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» (г. Красноярск)

Защита состоится «29» мая 2007 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан «27» апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук Христенко Ю.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Задачи теории упругости – традиционный раздел механики деформируемого твердого тела, имеющий достаточное количество приложений в научных исследованиях и инженерных расчетах прочности конструкций. Задачи проведения анализа прочности материалов и конструкций в подавляющем большинстве опираются на классические математические модели, в основе которых лежат системы дифференциальных уравнений теории упругости, полученные еще в первой половине XIX века. Это системы уравнений упругого равновесия в перемещениях (Лямэ) и в напряжениях (Бельтрами-Мичелла). Исходная форма записи данных уравнений преобразованиям практически не подвергалась, по крайней мере, преобразованиям, которые не повышали бы порядок дифференциальных уравнений.

В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники наблюдается интерес исследователей к развитию и применению численных методов. Проблемы повышения эффективности и быстродействия ЭВМ (как и проблема экономичности расчетов), возникающие при численной реализации решений задач теории упругости, не являются завершенными. В то же время хорошо известно, что развитие теоретических методик благотворно сказывается на модификации концепций и технологий вычислительных подходов.

В данной диссертации рассматривается возможность использования нового метода решения задач по расчету конструкций на прочность. Он основан на преобразовании системы уравнений упругого равновесия к диагональному виду.

Актуальность темы. Решение задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами сопряжено с проблемой интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных условиях на границе. В случае аппроксимации частных производных с помощью конечно-разностного или конечноэлементного методов и перехода к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) известны преимущества, которые дают преобразования матрицы СЛАУ, в частности, приведение к диагональному виду. Оказывается, что система дифференциальных уравнений равновесия теории упругости допускает приведение к диагональной форме на основе собственных преобразований в дифференциальном виде, минуя процедуру перехода к приближенной СЛАУ. При этом диагонализированная система в новых переменных имеет вид n независимых друг от друга уравнений Лапласа (или Пуассона при наличии объемных сил), где n – размерность решаемой задачи.

Использованный в диссертации подход, основанный на методе диагонализации системы уравнений равновесия, является одним из возможных вариантов решения проблемы повышения эффективности как аналитических методов реализации, так и повышения эффективности и экономичности численных решений на ЭВМ, возникающих при проведении прочностных расчетов в рамках плоской теории упругости.

Преимущества метода диагонализации следующие:

1) решение системы двух дифференциальных уравнений с частными производными заменяется решением двух независимых друг от друга уравнений Лапласа. Математический аппарат решения уравнений Лапласа как аналитическими, так и численными методами является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике;

2) при численной реализации (с помощью конечно-разностного или конечно-элементного подходов) дифференциальные уравнения приближенно заменяются алгебраическими соотношениями. Матрица получаемой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру. В случае, когда система уравнений равновесия приведена к диагональному виду, ширина ленты соответствующей системы линейных алгебраических уравнений уменьшается в несколько раз, что сокращает количество операций по определению численного решения.

Актуальность исследований состоит в практическом применении метода диагонализации в решениях ряда задач плоской теории упругости.

Цель диссертационной работы – показать применимость метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами; на основе полученных решений оценить точность метода и его практическую применимость.

Основные задачи

работы заключаются в следующем:

1) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах с помощью аналитических методов;

2) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах с помощью аналитических методов;

3) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости с помощью конечноразностного подхода.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) предложены новые алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) метод диагонализации был использован для решения плоских задач в полярных координатах;

3) предложены новые алгоритмы численного расчета напряженнодеформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

4) экспериментально подтверждена применимость метода диагонализации для численного решения задач.

Достоверность результатов исследования подтверждается строгой математической постановкой и использованием математического аппарата теории упругости и математической физики; практически полным совпадением результатов аналитического решения плоских задач с известными в литературе решениями; малой погрешностью результатов численного решения задач при сравнении с известными из литературы аналитическими решениями.

Практическая ценность заключается в том, что результаты исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы:

– при решении широкого класса задач плоской теории упругости как аналитическими, так и численными методами;

– в педагогическом процессе – для подготовки курса лекций по теории упругости, основанной на диагональной форме уравнений равновесия, дополненного примерами решения задач;

– в вычислительных технологиях – для проектирования пакетов прикладных программ, использующих модифицированную постановку плоской задачи теории упругости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) постановка метода диагонализации для решения плоских задач в полярных координатах;

3) алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

– на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.;

– на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 2006 г.;

– на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Томского политехнического университета, Томск, 2004, 2007 г.г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано пять печатных статей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 162 страницы, в том числе 152 страницы основного текста, 49 рисунков и 2 таблицы; список литературы содержит наименования работ отечественных и зарубежных авторов; приложения изложены на 10 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Во введении обоснована актуальность проводимых исследований;

сформулирована цель работы и соответствующие ей основные задачи исследования; раскрыты ее научная новизна и практическая значимость;

приведены сведения о достоверности результатов работы, ее апробации и публикациях автора; изложены основные положения, выносимые на защиту; описаны структура и объем работы; представлено краткое содержание диссертации.

В первой главе рассмотрены наиболее известные подходы к решению плоских задач теории упругости аналитическими и численными методами. Приведены методы как аналитического, так и численного решения рассматриваемого круга задач.

Далее приведены теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия, применимость которого является объектом исследования данной работы.

Система уравнений равновесия плоской теории упругости в перемещениях (система Лямэ) имеет следующий вид:

где u, v – компоненты вектора перемещений, – плотность, X, Y – объемные силы, = 1 2, где – коэффициент Пуассона, G – модуль сдвига.

Доказано 1, что систему (1) с помощью собственных преобразований (определения собственных значений и собственных векторов) можно представить в виде:

где d, (, = 1, 2 ) – сокращенный символ операции дифференцирования:

При этом связь новых переменных y представление (2), и переменных u, v имеет вид:

где – объемная деформация, – компонента элементарного вращения.

Реализация граничной задачи для системы уравнений равновесия в форме (2) осуществляется с помощью задания двух вариантов граничных условий:

(А) классических граничных условий в напряжениях (в форме Коши);

(Б) граничных условий для двух функций,, гармонических в области.

Во второй главе представлены алгоритмы решения плоских задач теории упругости аналитическими методами в декартовых и полярных системах координат. Целью представленных аналитических расчетов является апробация метода решения плоских задач, основанного на диагонализации системы уравнений равновесия, теоретические основы которого изложены в предыдущей главе. Круг решаемых задач определялся наличием уже имеющихся решений, которые были получены на основе классического подхода.

Светашков А.А. О приведении системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости к диагональному виду // Известия высших учебных заведений. Физика. – 2005. – №11. – С. 116-120.

В первом параграфе представлен алгоритм реализации граничной задачи в диагонализированной постановке с классическими граничными условиями (вариант (А)), согласно которому, напряжения в области могут быть определены путем решения краевой задачи:

с граничными условиями и связью напряжений x, y, xy с гармоническими функциями,, :

где = + – оператор Лапласа или гармонический оператор, l, m – косинусы углов, которые образует внешняя нормаль к граничному контуру тела, X n, Yn – проекции поверхностных нагрузок на оси координат.

Представлено решение задачи с наиболее простыми граничными условиями – задачи о растяжении полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону. Согласно рассматриваемому методу, для решения данной задачи необходимо сначала задаться (в данном случае – с точностью до констант, значение которых определяется потом) видом гармонических функций и, на основании которых далее по (8) находится вид функции. После этого находятся напряжения x, y, xy через функции их связи с, и (5) – (7). Далее из граничных условий (4) определяются значения констант, входящих в аналитические выражения гармонических функций, и, которые изначально были не определены. Так как после определения значений констант вид функций, и тоже полностью определен, находится окончательный вид напряжений x, y, xy.

Полученное решение полностью совпадает с классическим.

Далее аналогичным образом решается задача о простом растяжении полосы, две задачи с различными видами нормальных и сдвиговых напряжений, задача об изгибе моментами, приложенными к боковым граням. Далее приводится решение задачи о нагружении пластины сложной нагрузкой. В таких задачах наибольшую сложность вызывает подбор вида гармонических функций и. Их вид определяется из условия гармоничности с учетом особенностей задания граничных условий в напряжениях для каждой конкретной задачи. Как и в предыдущих случаях, определение изначально не определенных значений констант приводит к видам функций напряжений, полностью совпадающих с известным классическим решением, которое можно найти с помощью функции напряжений Эри.

Для решения следующей задачи – о расчете плотины треугольного профиля, используется алгоритм, аналогичный предыдущим задачам.

Далее рассмотрим задачу Файлона (рис. 1).

Решение данной задачи сложнее предыдущих, так как используются бесконечные суммы как следствие разложений граничной нагрузки и искомых гармонических функций в ряды Фурье.

Ход решения следующий: нагрузка, приложенная на границах пластины, раскладывается в ряд Фурье. Вид функций и задается тоже в виде двух гармонических функций, заданных бесконечной суммой с неизвестными константами C1n,..., C4 n. Значения этих констант необходимо найти из граничных условий. Через, выражается функция, а затем и напряжения x, y,. В итоге, подставляя значения найденных констант в выражения для напряжений, получаем решение данной задачи. Сравнение данного решения с классическим показывает полное их совпадение.

Во втором параграфе описывается алгоритм решения, основанный на связи решений плоских задач, полученных с помощью функции напряжений Эри с постановкой задачи в диагонализированном виде.

Доказано 2, что существует по крайней мере один вид функции напряжений, который соответствует диагональному представлению уравнений равновесия. Данная функция была получена Лявом:

где f – произвольная гармоническая функция, Легко показать, что напряжения в виде (5) – (7) можно рассчитать, пользуясь функцией Эри (9):

В силу единственности краевой задачи можно утверждать о соответствии решения в диагонализированной постановке, даваемого (3), (5) – (7), и решения, которое можно получить с помощью функции Эри (9).

Отсюда вытекает алгоритм построения решений в рамках метода диагонализации. Данный алгоритм в случае известной функции напряжений можно формализовать следующим образом:

2) определение ( – компонента элементарного вращения, = ) как гармонически-сопряженной функции :

3) определение функций, по формулам:

4) определение гармонической функции f из (9):

Светашков А.А. О решении плоских задач теории упругости с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия // Вычислительные технологии. – 2007. – Т. 12. – № 3. С. 110-115.

С использованием указанного алгоритма в данном параграфе решается три задачи:

– задача об изгибе консоли силой, приложенной на конце (рис. 2);

– задача об изгибе двухопорной балки равномерно распределенной нагрузкой;

– задача об изгибе консоли равномерно распределенной нагрузкой.

Рис. 2 Изгиб консоли силой, приложенной на конце Решение всех трех задач производится по указанному выше алгоритму. Полученные решения полностью совпадают с классическими решениями.

В третьем параграфе рассматривается постановка метода диагонализации для решения задач в полярных координатах. Сначала приводится процесс преобразования исходных формул из предыдущего параграфа для использования их в случае полярных координат. Изменения затрагивают все формулы, начиная с самой первой. Оператор Лапласа, используемый в ней, в полярных координатах r, имеет вид:

С учетом этого, находится из функции напряжений по формуле:

Для нахождения компоненты элементарного вращения для случая полярных координат необходимо воспользоваться формулами замены переменных в дифференциальных и интегральных выражениях. В итоге получаем:

причем здесь, как и в случае декартовых координат, интеграл от полного дифференциала.

Функции, для использования в случае полярных координат будут иметь вид:

Интеграл правых частей не зависит от пути интегрирования.

Формула для нахождения функции f преобразуется к виду:

Для нахождения можно вывести две различных формулы – через вторую производную по x (см. ниже) и через вторую производную по y :

Для нахождения аналога функции для случая полярных координат используется следующая формула:

Компоненты тензора напряжений в случае полярных координат находятся по формулам:

Представленный набор формул далее используется для решения трех задач в полярных координатах:

– задачи об изгибе кривого бруса (рис. 3);

Рис. 3 Изгиб кривого бруса узкого прямоугольного сечения силой, приложенной к незакрепленному концу Решение этих трех задач производится с использованием указанных выше формул, и полученные решения полностью совпадают с классическими.

В четвертом параграфе рассматривается случай, когда граничные нагрузки можно представить как заданные функции координат граничного контура. В этом случае можно использовать вторую форму граничных условий (Б).

Алгоритм следующий:

1) Находится вид функций Rx, R y по формулам:

рассчитывая по участкам граничной поверхности s.

2) Определяется вид функции на границе:

3) Находится вид функций, согласно граничным условиям вида где l, m, как и в предыдущих формулах – направляющие косинусы внешней нормали к граничному контуру.

4) Далее, аналогично схеме из первого параграфа, x, y, xy выражаются на основе уже вычисленных, и.

Приводится решение задачи о пластине, нагруженной нормальными и касательными напряжениями, и задачи Файлона с граничными условиями в виде (12), (13). В итоге получены результаты, полностью совпадающие с классическими.

Таким образом, во второй главе на примере решения целого ряда задач показана применимость метода для решения плоских задач теории упругости аналитическими методами.

В третьей главе представлено исследование применимости метода диагонализации для решения задач численными методами.

В первом параграфе представляются цели и средства исследования.

Необходимо показать применимость метода диагонализации для решения задач плоской теории упругости численными методами. Для решения задач выбран метод конечных разностей (МКР) (рис. 4), который сводит задачу поиска неизвестной функции в области к поиску значений этой функции в отдельных точках – на сетке.

Линейная аппроксимация граничных условий Линейная аппроксимация дифференциального уравнения в узлах Решение системы линейных алгебраических уравнений Обработка результатов решения для определения НДС Рис. 4 Алгоритм расчета по МКР МКР применим к областям с различными особенностями (форма, отверстия) и прост в реализации, поэтому в данной работе используется именно этот метод. Кроме того, программная реализация МКР включает в себя подзадачи численного дифференцирования, интегрирования, а также решения системы линейных алгебраических уравнений. В качестве среды реализации решения выбран пакет Mathematica, предоставляющий все возможности для решения подобного рода задач.

Во втором параграфе представлена общая постановка задачи: цель – определить напряженное состояние пластины, нагруженной по контуру, при этом известны геометрические характеристики пластины (ширина a и высота b ) и нагрузка, распределенная по контуру пластины с проекциями X n и Yn на оси координат (рис. 5).

Рис. 5 Исходные данные для постановки задачи распределения напряжений x ( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ) в данной пластине.

Алгоритм решения задач теории упругости при помощи метода диагонализации с использованием метода конечных разностей, рассматриваемый в третьем параграфе, показан на рис. 6.

Рис. 6 Алгоритм метода диагонализации с использованием МКР В четвертом параграфе описываются шаги по численной процедуре решения, основанной на указанном алгоритме.

Сначала производится нанесение сетки на пластину. При этом определяются параметры сетки – шаг вдоль оси x ( x и, соответственно, nx = a / x – число узлов сетки по горизонтали) и оси y ( y и, соответственно, ny = b / y – число узлов сетки по вертикали), размещение относительно начала отсчета и границ пластины.

Выбор шага сетки определяется в существенной мере видом функций внешних нагрузок X n и Yn : при переносе нагрузок на узлы сетки нагрузки фактически аппроксимируются кусочно-постоянными функциями (рис. 7).

Рис. 7 Кусочно-постоянная аппроксимация функций нагрузок в узлах Законтурные точки (серые кружки на рис. 7) нужны для конечноразностной аппроксимации производных функций ( x, y ), ( x, y ), входящих в граничные условия.

Далее необходимо произвести численное дифференцирование.

Простейший подход к численному дифференцированию состоит в прямом использовании определения производной, как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, при этом сетку рационально нанести так, чтобы производные в граничных точках по нормали к границе выражались через центральные разности узловых значений функции.

Последовательность действий по аппроксимации граничных условий выглядит, как показано на следующей схеме (рис. 8):

Конечно-разностные аппроксимации всех величин, показанных на схеме, находятся только для верхней и правой границы прямоугольника.

Аналогичная работа для оставшихся границ опускается, так как рассматривается осесимметричная задача.

Рис. 8 Промежуточные величины для аппроксимации граничных условий Линейная аппроксимация bnd показана на рис. 9. Из рисунка видно, что значение bnd в помеченной точке границы может быть аппроксимировано суммой значений в указанных узлах, взятых с указанными коэффициентами.

В остальных узлах верхней границы bnd аппроксимируется аналогично – в этом смысле рисунок является шаблоном для определения up.bnd.

Шаблону соответствует выражение где j max = ny / 2.

где i max = nx / 2.

В уравнениях (13) на момент составления граничных условий не известны ни i, j max + 0.5, ни i, j max 0.5, ни i up.bnd. Уравнения (14) и (15) служат для связывания значения функции в узлах сетки с граничными значениями, которые, в свою очередь, связаны с заданными на границах нагрузками – через (4) – (8). Такие и другие связи между переменными образуют систему уравнений, из которой можно будет определить узловые значения и, а затем – все производные от них величины.

Аналогичным формулам (14) и (15) образом определяются конечноразностные аппроксимации производных функций и на границах, а также интеграла (8) (с помощью формулы прямоугольника). Подставляя полученные аппроксимации в (5) – (7), получаем конечно-разностные граничные условия для напряжений x, y, xy.

Конечно-разностная аппроксимация уравнения Лапласа (3) основана на аппроксимации второй производной и производится аналогично перечисленным выше аппроксимациям первых производных с единственным отличием в самой формуле вычисления.

Следующим шагом решения задачи является решение полученной системы линейных алгебраических уравнений. Аппроксимация граничных условий и уравнений Лапласа на предыдущем шаге дала ( nx + 1) ( ny + 1) конечно-разностных линейных уравнений. Данная система уравнений решается с помощью пакета Mathematica.

Дальнейшая обработка решения заключается в определении напряжений в области согласно (5) – (8). Конечно-разностные аппроксимации напряжений в области строятся по тому же принципу, как и на границе – используя выражения, подобные (14) – (15).

В пятом параграфе рассмотренный алгоритм решения применяется к задаче о пластине с линейно распределенной нагрузкой q = x / 2.

Преимущество данного примера в том, что, поскольку заранее известен линейный характер искомых функций,, x, y, xy, то можно составить уравнения на очень грубой сетке, не теряя точности. Решение задачи производится согласно рассмотренному выше алгоритму. Полученное решение сравнивается с известным из классической литературы аналитическим решением и данное сравнение показывает их практически точное совпадение – абсолютные значения погрешности имеют порядок 1014.

Вывод: как и ожидалось, решение по МКР в задачах с линейными,, x, y, xy дало точный ответ.

В шестом параграфе рассматривается задача с квадратичной функцией нагрузки. Здесь при редкой сетке ( nx = ny = 2 ) погрешность определения напряжений составила 5,6%. Функция определена с близкой к нулю погрешностью, а функция, которая должна быть всюду равной нулю, определилась из системы уравнений как константа, равная -0,375, что и повлекло за собой погрешность в определении напряжений. Погрешность объясняется неточностью линейной аппроксимации парабол, однако она уменьшается со сгущением сетки. При сгущении сетки в 2 раза максимальная погрешность определения напряжений убывает в 4 – 5 раз и составляет 0,11 % при сетке 24·24 ( nx = 12 ), что свидетельствует о сходимости решения (рис. 10).

Рис. 10 Сходимость решения для x, y со сгущением сетки Таким образом, расчеты позволяют сделать вывод о применимости рассматриваемого метода к граничной задаче в напряжениях для прямоугольной полосы при линейных и нелинейных функциях нагрузок В седьмом параграфе рассматривается вариант решения для случаев, когда граничные нагрузки можно представить, как заданные функции координат граничного контура. Как уже упоминалось во второй главе, в этом случае целесообразно использовать граничные условия для искомых функции в виде (12). В этом варианте процедура решения краевой задачи должна состоять из следующих этапов (рис. 11):

Расчет граничных условий (12) для функции Решение уравнения Лапласа (3) для функции Расчет граничных условий (13) для функции Решение уравнения Лапласа (3) для функции Рис. 11 Алгоритм решения с использованием граничных условий для функций,, В восьмом параграфе указанным выше алгоритмом решается задача с тригонометрической функцией нагрузки. К прямоугольной полосе приложена нагрузка, представляющая собой один член тригонометрического ряда. Размеры полосы 8·8. Рассчитывается симметричная четверть.

Система линейных алгебраических уравнений построится сначала для, затем для и, наконец, для. В остальном процедура решения аналогична предыдущей задаче.

Рис. 12 Сходимость решения со сгущением сетки Погрешность определения напряжений x, y на редкой сетке 8· составляет 6,2 %. Со сгущением сетки погрешность уменьшается (см. рис.

12).

На рис. 12 также показана относительная погрешность определения xy двумя различными способами: в первом случае xy определено по ( x, y ), найденной путем численного решения уравнения функции (соответствующий рисунок прокомментирован определено по функции ( x, y ), выраженной как интеграл (8). Видно, что на густых сетках погрешности отличаются почти вдвое: интегральная формула, аппроксимированная методом прямоугольников, менее точна. В целом видна достаточно быстрая сходимость численного решения к известному аналитическому решению.

Таким образом, в третьей главе показана применимость метода для решения плоских задач теории упругости численными методами.

В заключении сформулированы основные результаты работы и выводы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Разработан ряд алгоритмов применения метода диагонализации для аналитического решения задач плоской теории упругости в декартовых координатах.

2) Получено преобразование метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

3) Разработан алгоритм применения метода для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

4) Разработаны алгоритмы применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости.

5) С использованием указанных алгоритмов получены:

– аналитические решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах;

– аналитические решения плоских задач теории упругости в полярных координатах;

– численные решения плоских задач теории упругости.

6) На основе полученных решений показана применимость метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Светашков А.А., Махов А.В. Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы КошиРимана // Известия Томского политехнического университета. – 2005. – № 6. – С. 136-140.

2. Махов А.В., Светашков А.А. Решение задачи о нагружении полосы сложной нагрузкой с помощью метода преобразования системы уравнений равновесия к диагональному виду // Прогрессивные технологии и экономика в машиностроении: Труды IV Всероссийской научнопрактической конференции с международным участием. В 2-х т. – ЮТИ ТПУ, Т. II. – Юрга: Изд-во ТПУ, 2006. – С. 81-84.

3. Махов А.В., Светашков А.А. Метод решения задач теории упругости на основе приведения системы дифференциальных уравнений равновесия к диагональному виду // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. – С. 143.

4. Махов А.В. Решение задачи Файлона для диагонализованной системы уравнений равновесия и его оптимизация для вычисления результатов на компьютере // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Доклады V Всероссийской научно-технической конференции. – Томск: Изд-во ТГУ, 2006. – С. 181-182.

5. Замятин В.М., Махов А.В., Светашков А.А. Решение плоских задач теории упругости для полосы с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия // Известия Томского политехнического университета. – 2006. – № 6. – С. 135-139.