РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Математический институт им. В. А. Стеклова

Отдел геометрии и топологии

На правах рукописи

Устиновский Юрий Михайлович

Топология и геометрия комплексных

многообразий с максимальным действием тора.

01.01.04 – Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2014

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвяще­ на пространствам с действием тора = ( 1 ). Исследуется топология таких пространств, изучается возможность введения гладких и комплексно-аналити­ ческих структур на пространствах с действием “большого” тора, решаются некоторые вопросы касательно геометрии комплексных структур в случае их существования.

Объекты, обладающие богатой группой симметрией, на протяжении по­ следних 30 лет привлекают особенное внимание[1]. Развитию интереса к про­ странствам с действием торов способствовало появление торической гео­ метрии — науки об алгебраических многообразиях, допускающих действие алгебраического тора (C* ) с открытой плотной орбитой[2,3]. Наличие боль­ шой группы симметрий позволяет установить взаимно-однозначное соответ­ ствие между торическими многообразиями и комбинаторно-геометрическими объектами — веерами. Это соответствие открыло глубокие связи между гео­ метрическими характеристиками торических многообразий и свойствами соот­ ветствующих комбинаторных объектов и нашло многочисленные приложения.

Батырев[4] использовал торические многообразия для явного построения пар многообразий Калаби-Яу со свойствами, предписываемыми зеркальной симмет­ рией. Поммерсхейм[5] доказал формулу для класса Тодда особой торической по­ верхности и использовал ее для доказательства теоретико-числовых тождеств, связывающих Дедекиндовы суммы. Стенли[6], применив сильную теорему Леф­ шеца к проективным торическим многообразиям, первым доказал необходи­ мость неравенств МакМюллена в задаче об -векторах простых многогранни­ ков.

Возможности торической геометрии, позволяющие доказывать внешние по отношению к алгебраической геометрии результаты при помощи изучения гео­ метрии и топологии торических многообразий, мотивировали построение более общих пространств с действием тора. Дэвис и Янушкевич[7] определили топо­ логический аналог проективных торических многообразий — квазиторические многообразия. Эти пространства уже не несут алгебраической структуры, од­ нако обладают многими важным топологическими свойствами. Бухштабер и Рэй[8,9] ввели на каждом квазиторическом многообразии, снабженном допол­ [1] Глен Бредон. Введение в теорию компактных групп преобразований. Наука, Москва, 1980.

[2] В. И. Данилов. Геометрия торических многообразий. Успехи метем. наук, 33:85–134, 1978.

[3] J.-L. Brylinski. Eventails et varits toriques. Lecture Notes in Math., 777:247–288, 1980.

ee [4] Viktor Batyrev. Dual polyhedra and mirror symmetry for calabi-yau hypersurfaces in toric varieties. J.

Algebraic Geom., (3):493–535, 1993.

[5] J.E. Pommersheim. Toric varieties, lattice points and dedekind sums. Math. Ann., 295:1–24, 1993.

[6] Richard P. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra, volume 41. Birkhuser, Boston, 1996.

a [7] M. W. Davis and T. Januszkiewicz. Convex polytopes, coxter orbifolds and torus actions. Duke Math. J., 62(2):417–451, 1991.

[8] V. Buchstaber and N. Ray. Flag manifolds and the landweber–novikov algebra. Geom. Topol., 2:79–101, 1998.

[9] Victor M. Buchstaber and Nigel Ray. Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of нительными комбинаторными данными, каноническую стабильно-комплексную структуру и явно описали способ построения квазиторических образующих в кольце комплексных кобордизмов. Ключевым шагом в создании торической топологии стала работа Бухштабера и Панова[10], в которой была существенно переработана конструкция Дэвиса и Янушкевича и для каждого симплициаль­ ного комплекса были определены общие момент-угол-комплексы — цен­ тральный объект новой области исследований. Авторы доказали, что момент­ угол-комплекс, отвечающий симплициальному многограннику = *, до­ пускает эквивариантную гладкую структуру и может быть реализован в виде невырожденного пересечения вещественных квадрик в C. При таком описа­ нии, всякое квазиторическое многообразие над многогранником оказывается пространством орбит свободного действия подтора на пространстве. Этот подход нашел применение в работе Бухшатбера Панова и Рэя[11], в которой авторы использовали теорию аналогичных многогранников для опре­ деления операции связной суммы на уровне квазиторических многообразий, снабженных стабильно-комплексной структурой, тем самым в каждом классе комплексных кобордизмов был построен связный торический представитель. Ре­ ализация общих момент-угол-комплексов в виде -степеней привела к появле­ нию смежной области — гомотопической теории полиэдральных произведений, которая в настоящее время активно развивается. Так, в работах Грбич, Терио и Грбич, Терио, Панова и Ву[12,13] удалось описать явный гомотпический тип момент-угол-комплексов, отвечающих специальным классам симплициальных комплексов.

Со временем выяснилось, что пространства, изучаемые в торической то­ пологии, зачастую допускают сложные геометрические структуры, сохраняе­ мые действием тора. Основываясь на реализации момент-угол-многообразий в виде пересечения невырожденных квадрик в C, Миронов и Панов[14,15] по­ строили новые семейства гамильтоново-минимальных лагранжевых погруже­ ний в C и в общие симплектические торические многообразиях. Хорошо из­ вестный результат Дельзана[16] гласит, что все компактные симплектические многообразия с гамильтоновым действием тора половинной размерности реали­ polytopes. Int. Math. Res. Not., (4):193–219, 2001.

[10] В. М. Бухштабер and Т. Е. Панов. Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра.

Успехи метем. наук, 55(5):825–921, 2000.

[11] V. M. Buchstaber, T. E. Panov, and N. Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds.

Mosc. Math. J., 7(2):219–242, 2007.

[12] Jelena Grbi and Stephen Theriault. The homotopy type of the polyhedral product for shifted complexes.

Advances in Mathematics, 245:690–715, 2013.

[13] Jelena Grbi, Taras Panov, Stephen Theriault, and Jie Wu. The homotopy types of moment-angle complexes fo flag complexes. Preprint, 2013.

[14] А. Е. Миронов and Т. Е. Панов. Гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия в торических многообразиях. Успехи метем. наук, 68(2):203–204, 2013.

[15] А. Е. Миронов and Т. Е. Панов. Пересечения квадрик, момент-угол-многообразия и гамильтоново-мини­ мальные лагранжевы вложения. Функц. анализ и его прил., 47(1):47–61, 2013.

[16] Thomas Delzant. Hamiltoniens priodiques et images convexes de l’application moment. Bulletin de la Socit Math. de France, 116(3):315–339, 1988.

зуются неособыми проективными торическими многообразиями. Оказывается, что, если ослабить условие существования симплектической структуры до усло­ вия существования инвариантной почти комплексной структуры, квазиториче­ ские многообразия предоставляют множество новых примеров. Так, в работе Кустарева[17] приведены необходимые и достаточные условия существования на квазиторических многообразиях инвариантной почти комплексной структу­ ры, эквивалентной данной стабильно комплексной. Благодаря подходу к ква­ зиторическим многообразиям, развитому в работах Бухштабера и Панова[18], Кустареву удалось дать явный ответ в терминах геометрических и комбина­ торных данных, задающих многообразие. Естественно возникающий вопрос об интегрируемости этих почти комплексных структур решен в работе Каршон и Исиды[19], где изучаются комплексные структуры на компактных многообрази­ ях с действием тора половинной размерности, имеющим неподвижную точку.

В этой работе, в частности, доказано, что интегрируемыми оказываются лишь структуры соответствующие компактным торическим многообразиям. Этот ре­ зультат интересен тем, что, как правило, вопрос об интегрируемости почти ком­ плексных структур крайне труден (например, до сих пор открыт вопрос о су­ ществовании комплексной структуры на шестимерной сфере), однако в рамках обширного класса многообразий, предоставляемого торической топологией, он может быть полностью решен.

С построением комплексных структур на многообразиях с действием то­ ра связана другая серия работ[20,21,22,23], мотивированных вопросами голоморф­ ной динамики. В этих работах удалось построить комплексные структуры на обширном классе многообразий, заданных невырожденной системой ве­ щественных квадрик специального вида в C. Построенные примеры явля­ ются далеко идущими обобщениями классических многообразий Хопфа[24] и Калаби-Экманна[25]. Все многообразия данных семейств за исключением триви­ альных случаев некэлеровы, и к ним неприменимы большинство методов ком­ плексной геометрии. Однако, явная конструкция и наличие большой группы [17] А. А. Кустарев. Эквивариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях.

Труды МИАН, 266:140–148, 2009.

[18] V. M. Buchstaber and T. E. Panov. Torus actions and their applications in topology and combinatorics, volume 24. Univ. Lecture Ser., AMS, 2002.

[19] H. Ishida and Y. Karshon. Completely integrable torus actions on complex manifolds with fixed points. to appear in Mathematical Research Letters, 2012.

[20] Santiago Lpez de Medrano and Alberto Verjovsky. A new family of complex, compact, non-symplectic manifolds. Bol. Soc. Mat. Brasil., 28:253–269, 1997.

[21] Jean-Jacques Loeb and Marcel Nicolau. On the complex geometry of a class of non-khlerian manifolds. Israel J. Math., 110:371–379, 1999.

[22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math.

Ann., pages 79–115, 2009.

[23] Laurent Meersseman and Alberto Verjovsky. Holomorphic principal bundles over projective toric varieties. J.

Reine Angew. Math., 572:57–96, 2004.

[24] H. Hopf. Zur topologie der komplexen mannigfaltigkeiten. Studies and Essays, Interscience Publishers, Inc., New York, pages 167–185, 1948.

[25] E. Calabi and B. Eckmann. A class of compact complex manifolds which are not algebraic. Annals of Mathematics, 58:494–500, 1953.

симметрий позволяют получать нетривиальные результаты об их геометрии.

Так, Меерсманн[22] при некоторых ограничениях описал поле мерофорфных функций на этих многообразиях и вычислил универсальное пространство де­ формаций комплексных структур. Кроме нетривиальной геометрии, многооб­ разия из работ Меерсманна имеют сложную топологию. Лопез де Медрано[26] явно описал в частном случае их дифференциальный тип и доказал, что они являются связной суммой произведений сфер. Недавно Босио и Меерсманн[27] установили, что все эти многообразия являются момент-угол-комплексами, со­ ответствующими выпуклым многогранникам, и использовали результаты об их когомологиях для построения компактных комплексных многообразий с пред­ писанным кручением в когомологиях.

Помимо прочего, торическая топология предоставляет массу примеров для анализа различных гипотез эквивариантной геометрии. Упомянем отдельно классическую гипотезу о торическом ранге, являющуюся до сих пор открытой.

Она была сформулирована Гальпериным[28] для действия торов = ( 1 ).

Сама гипотеза дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий конечномер­ ного пространства с почти свободным действием тора. Пуппе[29] доказал линейную по оценку на ранг кольца когомологий и, как следствие, устано­ вил, что гипотеза верна при 3. Частные результаты для различных классов пространств с действием тора приведены в книге Феликса, Опреа и Тома[30].

Цели и задачи диссертационной работы: исследование связи меж­ ду топологической гипотезой о торическом ранге и алгебраической гипотезой Хоррокса, доказательство оценок на размерности биградуированных компонент когомологий момент-угол-комплексов. Исследование возможности введения на момент-угол-комплексах, не покрываемых результатами Бухштабера и Па­ нова, гладких и комплексных структур. Построение модели для вычисления когомологий Дольбо главных расслоений со слоем комплексный тор. Изучение геометрии компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, яв­ ляются новыми и заключаются в следующем:

1) Установлена связь между классической гипотезой Хоррокса о размерно­ стях модулей Tor 1,..., ] (, Q) и гипотезой Гальперина-Карлссона. Дока­ зана гипотеза Гальперина-Карлссона для индуцированных действий торов [22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math.

Ann., pages 79–115, 2009.

[26] Santiago Lpez de Medrano. Topology of the intersection of quadrics in. Lecture Notes in Math., 1370:280–292, 1989.

[27] F. Bosio and L. Meersseman. Real quadrics in, complex manifolds and convex polytopes. Acta Math, 197;1:53–127, 2006.

[28] S. Halperin. Rational homotopy and torus actions. London Math. Soc. Lecture Notes, 93:293–306, 1985.

[29] V. Puppe. Multiplicative aspects of the halperin-carlsson conjecture. Georgian Mathematical Journal, 16(2):369–379, 2009.

[30] Y. Flix, J. Oprea, and D. Tanr. Algebraic Models in Geometry. Oxford University Press, 2008.

на момент-угол-комплексах. Доказан градуированный вариант гипо­ тезы Гальперина-Карлссона для момент-угол-комплексов, и, как след­ ствие, получены новые неравенства на биградуированные числа Бетти,2 () общих симплициальных комплексов.

2) Доказано, что четномерные момент-угол-комплексы и некоторые их ча­ стичные факторы, отвечающие полным симплициальным веерам, допуска­ ют гладкие и комплексно-аналитические структуры. Тем самым описаны все компактные комплексные многообразия, допускающие максимальное действие тора.

3) Введено каноническое голоморфное слоение на компактных комплексных многообразиях с максимальным действием тора. Найдено достаточное условие для существования трансверсально-кэлеровой относительно кано­ нического слоения формы. Построена конечномерная модель для вычисле­ ния когомологий Дольбо многообразий, для которых листы канонического слоения компактны и изоморфны друг другу.

4) При дополнительных ограничениях на комбинаторные и геометрические данные, определяющие компактное комплексное многообразие с макси­ мальным действием тора, описаны все их аналитические подмножества и мероморфные функции.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретиче­ ский характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специали­ стами в области алгебраической топологии, комплексной дифференциальной геометрии, комбинаторики и торической топологии.

Методы исследования. В работе используются методы эквивариантной топологии, рациональной теории гомотопий (минимальные модели расслоен­ ных пространств), коммутативной алгебры, теории торических многообразий и дифференциальной комплексной геометрии. Также используется техника спек­ тральных последовательностей Лере-Серра и Бореля.

Апробация результатов. Содержащиеся в диссертации результаты до­ кладывались на следующих международных научных конференциях:

1. «Ломоносов 2010», г. Москва, 12-15 апреля 2010 г.;

2. «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвящен­ ная 120-летию Б.Н. Делоне, г. Москва, 16-20 августа 2010 г.;

3. «Торическая топология и автоморфные функции», г. Хабаровск, 5-10 сен­ тября 2011 г.;

4. «Toric topology meeting», г. Осака, Япония, 28-30 ноября 2011 г.;

5. «Александровские чтения», г. Москва, 21-25 мая 2012 г.;

6. «Рождественские математические встречи фонда “Династия”», г. Москва, 8-11 января 2013 г.;

7. «Действия торов: топология, геометрия, теория чисел», г. Хабаровск, 2- сентября 2013 г.;

и научно-исследовательских семинарах:

1. «Алгебраическая топология и её приложения» им. М.М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, проф. А.В. Чернавского, проф. И.А. Дынникова, проф. Т.Е. Панова, доц. Л.А. Алания и доц.

Д.В. Миллионщикова, МГУ, март 2011 г.;

2. Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, тополо­ гия и математическая физика» под руководством академика РАН С.П. Новикова и чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, МИАН, 25 апреля 3. «Комплексные задачи математической физики» под руководством проф.

А.Г. Сергеева и доц. А.В. Домрина, МИАН, 1 апреля 2013 г.;

4. «Петербургский геометрический семинар им. А.Д. Александрова» под ру­ ководством проф. Ю.Д. Бураго, ПОМИ, 18 апреля 2013 г.;

5. Cеминар лаборатории «Дискретная и вычислительная геометрия» им.

Б.Н. Делоне, ЯрГУ, 13 сентября 2013 г.;

6. «Mathematics and Physics seminar» под руководством проф. T. Пантева, University of Pennsylvania, 5 ноября 2013 г.;

7. «Algebraic Topology Seminar» под руководством проф. T. Бари, Princeton University, 7 ноября 2013 г.;

8. «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством проф.

Э.Б. Винберга, проф. А.Л. Онищика, проф. И.В. Аржанцева и доц.

Д.А. Тимашева, МГУ, 5 марта 2014 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в шести печатных работах в рецензируемых научных журналах, список которых приве­ ден в конце автореферата [1–6]. Из совместной публикации с научным руково­ дителем Тарасом Евгеньевичем Пановым [3] на защиту выносятся результаты, в получении которых роль диссертанта была решающей.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опублико­ ванные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и библиографии. Общий объем диссертации 83 страниц. Библиография включает 72 наименования на 4 стра­ ницах.

Краткое содержание работы Во введении приведен краткий исторический обзор исследований по то­ пологии и комплексной геометрии пространств с действием тора, обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные результаты рабо­ ты.

Глава 1 носит вводный характер. В ней определяются комбинаторные, геометрические и топологические понятия, необходимые для дальнейшего из­ ложения. В разделах 1.1–1.3 даются определения симплициальных комплексов, выпуклых многогранников, конусов и вееров, колец Стенли-Райснера. В разде­ ле 1.4 приведена классическая конструкция торических многообразий и сфор­ мулирована фактор-конструкция Кокса-Батырева. В разделе 1.5 определяется общая категорная конструкция -степеней и вводятся момент-угол-комплек­ сы. Также формулируются хорошо известные результаты о топологии мо­ мент-угол-комплексов, включая описания колец когомологий и эквивариантных когомологий.

Глава 2 посвящена гипотезе Гальперина-Карлссона, которая дает ниж­ нюю оценку на ранг кольца когомологий пространства с почти свободным дей­ ствием тора :

Гипотеза (О торическом ранге). Пусть на конечномерном -комплексе почти свободно действует тор, тогда В разделе 2.1 анализируется связь гипотезы о торическом ранге с алгебра­ ической гипотезой Хоррокса:

Гипотеза (Гипотеза Хоррокса). Пусть — конечномерный над Q градуиро­ ванный модуль над кольцом многочленов (), тогда Строится конечномерная модель для вычисления кольца когомологий про­ странств с действием тора, чье гомотопическое пространство орбит формально.

При помощи этой модели доказывается следующий результат:

Теорема 2.1.7. Предположим, что пространство орбит почти свободного действия группы на конечномерном -комплексе односвязно и фор­ мально. Тогда слабая гипотеза Хоррокса для (, Q)-модуля (, Q) вле­ чет гипотезу о торическом ранге для пространства.

Из доказательства Теоремы 2.1.7, в частности следует, что любое частич­ ное продвижение в гипотезе Хоррокса автоматически влечет продвижение в гипотезе о торическом ранге.

В разделе 2.2 определяется комбинаторная операция удвоения симплици­ альных комплексов и устанавливается ее связь с операцией -степени. Эта связь используется при доказательстве гипотезы о торическом ранге для мо­ мент-угол-комплексов.

Теорема 2.2.10. Гипотеза о торическом ранге выполнена для действия под­ торов в торе, действующем стандартным образом на момент-угол-ком­ плексах.

Раздел 2.3 мотивирован результатами раздела 2.1, связывающими гипотезу Хоррокса с гипотезой о торическом ранге. В нем определяется биградуировка в когомологиях пространств с действием тора, чье гомотопическое простран­ ство орбит формально, и формулируется градуированная гипотеза о ториче­ ском ранге, которая затем доказывается для момент-угол-комплексов. В каче­ стве приложения этих теорем приводится результат о комбинаторике общих симплициальных комплексов.

Теорема 2.3.2. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности 1. Тогда биградуированные числа Бетти 2, () удовлетво­ ряют следующим неравенствам:

Следствие 2.3.5. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности 1. Тогда В заключительном разделе второй главы, следуя работе Исиды[31], вводит­ ся понятие максимального действия тора на гладком многообразии.

В главе 3 изучается возможность введения гладких и комплексно-ана­ литических структур на момент-угол-комплексах и их частичных факторах, приводится конструкция, позволяющая строить все компактные комплексные [31] H. Ishida. Complex manifolds with maximal torus actions. Preprint, 2013.

многообразия с максимальным действием тора. В разделе 3.1 даются достаточ­ ные условия существования гладких и комплексных структур на пространствах Теорема 3.1.6. Момент-угол-комплексы, отвечающие симплициальным комплексам =, где — полный симплициальный веер в некотором век­ торном пространстве, допускают структуру гладкого многообразия.

Теорема 3.1.12. Момент-угол-комплексы четной размерности, отвечаю­ щие симплициальным комплексам =, где — полный симплициальный веер в некотором векторном пространстве, допускают структуру ком­ плексного многообразия.

Также в разделе 3.1 приводится конструкция, позволяющая строить ком­ плексные структуры на частичных факторах пространств. В разделе 3. с помощью результата работы Исиды[31] доказано, что любое компактное ком­ плексное многообразий с максимальным действием тора можно получить та­ ким образом. Построенные многообразия являются обобщениями многообразий Хопфа и Калаби-Экманна.

Теорема 3.1.17 (Фактор-конструкция-III). Рассмотрим симплициальный комплекс на множестве []. Пусть C такая связная комплексная подгруппа Ли, что все пересечения вида (C*, 1), где, тривиальны.

Обозначим через h tC = t t соответствующие алгебры Ли. Рассмотрим : tC t и : t t/(h) — естественные проекции на первое слагаемое и на фактор-пространство, соответственно, — веер в t = R, соответству­ ющий комплексу.

Предположим, что ограничение проекции взаимно-однозначно. Тогда группа действует на пространстве (), при­ чем 1. пространство орбит ()/ является комплексным многообразием с естественным действием тора /( ) C /;

2. частичный фактор /( ) момент-угол-комплекса эквивари­ антно (относительно действия группы /( )) гомеоморфен про­ Теорема 3.2.3. Всякое компактное комплексное многообразие с макси­ мальным действием тора может быть получено при помощи конструкции Теоремы 3.1.17.

[31] H. Ishida. Complex manifolds with maximal torus actions. Preprint, 2013.

Глава 4 посвящена изучению комплексной геометрии многообразий с мак­ симальным действием тора. Каждое такое многообразие может быть реализова­ но как пространство орбит эффективного действия группы C на ториче­ ском многообразии. Группа задается своей алгеброй Ли — комплексным подпространством h в алгебре Ли tC = tt тора C, действующего на многооб­ разии. В разделах 4.1 и 4.2 на многообразиях (, h) вводится каноническое голоморфное слоение и изучается пространство его листов.

Теорема 4.2.1. Предположим, что листы канонического слоения на мно­ гообразии (, h) замкнуты. Тогда пространство листов слоения есть торическое многообразие (), где () — рациональный веер в пространстве t/(h) с решеткой /( (h)).

В разделе 4.3 строится модель когомологий Дольбо многообразий (, h), на которых листы канонического слоения замкнуты и изоморфны друг другу. В этом случае многообразие (, h) является главным расслоением над полным неособым торическим многообразием:

Теорема 4.3.5. Предположим, что листы канонического слоения на много­ образии (, h) есть свободные орбиты действия компактного комплексного тора = /( ) комплексной размерности. Тогда имеется главное голоморфное расслоение (, h) (), причем где дифференциал задан на элементах ( ) и продолжен на всю ал­ гебру по правилу Лейбница: ( ) = C ( ) (() ).

Раздел 4.4 посвящен построению трансверсально-кэлеровых форм на мно­ гообразиях (, h). Подобные формы являются эффективным инструментом при изучения геометрии некэлеровых многообразий. Приведенная конструкция идейно воспроизводит схему построения проективного вложения торических многообразий, отвечающих выпуклым многогранникам. В качестве иллюстра­ ции построена трансверсально-кэлерова форма на многообразиях Хопфа.

Теорема 4.4.6. Рассмотрим многообразие (, h). Предположим, что веер () является слабо нормальным. Тогда для любого N на многообразии (, h) существует форма класса гладкости, являющаяся трансвер­ сально-кэлеровой относительно канонического слоения на открытой плот­ ной C /-орбите.

В разделе 4.5 изучается геометрия “типичных” многообразий (, h), то есть при “общем” выборе подпространства h tC. При помощи канонического слоения и трансверсально-кэлеровой формы, в случае ее существования, доказывается, что типичные многообразия (, h) не допускают непостоянных мероморфных функций и содержат лишь конечное число аналитических под­ множеств положительной размерности. Таким образом, с этой точки зрения, компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора ока­ зываются близки комплексным торам и поверхностям Хопфа.

Теорема 4.5.9. Предположим, что линейная оболочка веера t совпадает с t. Тогда на многообразии = (, h), снабженном общей комплексной структурой, существуют лишь постоянные мероморфные функции.

Теорема 4.5.10. Для общей комплексной структуры на многообразии (, h) верно, что если веер () слабо нормален, то все аналитиче­ ские подмножества положительной размерности являются замыканиями C /-орбит.

Список публикаций 1. Устиновский Ю. М. Операция удвоения многогранников и действия тора // Успехи метем. наук. 2009. Т. 64, № 5(389). С. 181–182. arXiv:0909.1050.

2. Устиновский Ю. М. Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплек­ сов // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 300–305. arXiv:0909.1053.

3. Panov T., Ustinovsky Y. Complex-analytic structures on moment-angle mani­ folds // Mosc. Math. J. 2012. Vol. 12, no. 1. P. 149–172. arXiv:1008.4764.

4. Устиновский Ю. М. О почти свободных действиях тора и гипотезе Хоррок­ са // Дальневост. матем. журн. 2012. Т. 12, № 1. С. 98–107. arXiv:1203.3685.

5. Устиновский Ю. М. Геометрия компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора // Труды МИАН. 2014. Т. 3.

6. Устиновский Ю. М. О моделях колец когомологий пространств с действием тора // Успехи метем. наук. 2014. Т. 69, № 4(418).

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему:

Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным Отпечатано в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН